A kijelölt esemény darabszámának átlaga és előfordulásának esélye külön kimenet. A binomiális számításhoz előre rögzített darabszámú, független és azonos eseményesélyű megfigyelések kellenek. Közös hibaokból összetartozó rekordokra más eloszlás adódhat, akkor is, ha az egyes rekordok eseményesélye változatlan.
A statisztika és valószínűség kalkulátorban az eloszlás és a keresett esemény megfelelő megadása után hasonlítsd össze a kimeneteket. Az alábbi 2% saját szemléltető feltételezés, nem valamely termék vagy vállalkozás mért hibaaránya.
A modell három alapadata
Vizsgáljunk 30, egymástól független esetet. Mindegyikben ugyanakkora, p = 0,02 eséllyel fordul elő a kijelölt esemény. Egy megfigyelésnek két eredménye van: esemény vagy nincs esemény.
A megfigyelések számát előre rögzítjük. Ha ehelyett addig folytatjuk a vizsgálatot, amíg találunk egy esetet, más feladatot kapunk. Az itt használt binomiális modell a rögzített n darab megfigyelésre ad választ.
Az „esemény” lehet például egy előre meghatározott adatminőségi eltérés. A matematikai elnevezés nem minősíti az eseményt kedvezőnek vagy kedvezőtlennek; a definíciót az adatgyűjtésben kell pontosítani.
A várható darabszám
A binomiális változó várható értéke n × p = 30 × 0,02 = 0,6. Ez sok, ugyanezzel a modellel végzett harmincas vizsgálat átlagos eseményszámát jellemzi.
Egyetlen harmincas mintában természetesen egész darabszámot kapunk: 0, 1, 2 és így tovább. A 0,6 nem azt állítja, hogy a mintában egy esemény hat tizede fog megtörténni. Az átlagos modellérték és az egyedi megfigyelés külön szint.
A legegyszerűbb út: először a nulla esemény
Egyetlen megfigyelésben az esemény elmaradásának esélye 1 − 0,02 = 0,98. A független harminc eset mindegyikében való elmaradás valószínűsége:
P(X = 0) = 0,98³⁰ ≈ 0,545484, azaz 54,55%.
A „legalább egy” ennek kiegészítő eseménye, ezért P(X ≥ 1) = 1 − 0,98³⁰ ≈ 45,45%. Ez jól láthatóan eltér a 0,6-os várható darabszám százalékként félreolvasott 60%-ától.
Ellenőrzésként a nulla és a legalább egy valószínűsége együtt 100%. A két esemény kizárja egymást, és az összes lehetséges mintakimenetet lefedi.
Pontosan egy esemény
A pontosan egy előfordulás valószínűsége 30 × 0,02 × 0,98²⁹ ≈ 0,33397, vagyis 33,40%. A 30-as szorzó azt számolja, hány helyen lehet az egyetlen esemény.
A legalább egy 45,45%-os esélyéből a pontosan egy 33,40%-os esélyét kivonva a legalább kettő valószínűsége hozzávetőleg 12,05%. A kerekített kijelzések helyett a pontos köztes értékekkel végzett kivonás adja a következetes eredményt.
Az „egy”, „legalább egy” és „legfeljebb egy” feliratokat ezért külön kell figyelni. Egyetlen szó eltérése más mintakimeneteket foglal a válaszba.
Hány megfigyelésnél érjük el a 95%-ot?
Változatlan, valóban 2%-os és független eseményesély mellett a feltétel 1 − 0,98ⁿ ≥ 0,95. Átrendezve n ≥ ln(0,05) / ln(0,98), majd felfelé kerekítve 149 megfigyelés szükséges.
Ez annak modellezett esélyére vonatkozik, hogy legalább egy eseményt találunk, ha a feltevés szerinti arány tényleg 2%. A nulla találatból önmagában nem igazol 95%-os bizonyossággal hibamentes folyamatot, és nem teljes átvételi ellenőrzési terv.
A függetlenség határa
Egy közös importhibából származó hibacsomag vagy időben összefüggő meghibásodás sértheti a függetlenséget. Véges készletből visszatevés nélküli mintavételnél szintén más eloszlás lehet megfelelő.
A kalkulátor helyes számot adhat a bevitt modellre, miközben a modell nem illik az adatgyűjtéshez. A feltételek leírása ezért a kész eredmény része.
Ugyanaz az átlag közös hibaok mellett
Hasonlítsd az eredeti harminc független rekordot egy másik, szélsőségesen összefüggő modellhez. Ebben 2% eséllyel egy közös hiba mind a harminc rekordot érinti, 98% eséllyel pedig egyiket sem. Minden egyes rekord érintettségi esélye így továbbra is 2%, de az eredmények teljesen együtt mozognak.
Az eseményszám ebben a második modellben csak 0 vagy 30 lehet. A várható darabszám 0 × 0,98 + 30 × 0,02 = 0,6, ugyanannyi, mint a független esetben. A legalább egy esemény esélye viszont 2%, szemben a független binomiális modell körülbelül 45,45%-ával.
A második helyzetre nem alkalmazható a harminc független elmaradási esély szorzata. A rekordok számából és az átlagos érintettségből önmagában nem következik az eseményhalmaz eloszlása. A vizsgálati jegyzetben rögzítsd, mely rekordok származnak azonos importból, gépből vagy időszakból, hogy a közös hibaok lehetőségét külön is értékelni lehessen.
Gyakori kérdések
A 0,6 várható érték 60%-os találati esély?
Nem. A példában a legalább egy esemény esélye körülbelül 45,45%. A várható érték darabszámot jellemez.
A pontosan egy és a legalább egy felcserélhető?
Nem. A legalább egy tartalmazza a kettő, három és további előfordulásokat is.
A 149-es mintanagyság minden vizsgálatra jó?
Ez a megadott 2%-os, független modell és a kijelölt 95%-os észlelési cél eredménye. Más feltételekkel más szám szükséges.
Módszertani forrás
OpenStax – Binomiális eloszlás
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és jegyezd fel a betűjelét. Minden helyes válasz 1 pont; a hibás, kihagyott vagy több betűvel jelölt válasz 0 pont. Legfeljebb 3 pontot szerezhetsz. A megoldókulcsot a válaszadás után olvasd el.
1. A közös hiba 2% eséllyel mind a 30 rekordot érinti, egyébként egyiket sem. Mekkora a várható eseményszám?
- A) 30
- B) 0,02
- C) 0,6
2. Ebben a közös hibás modellben mennyi a legalább egy esemény esélye?
- A) 2%
- B) 45,45%
- C) 60%
3. Miért nem használható itt az 1 − 0,98³⁰ számítás?
- A) A harminc rekord érintettsége nem független.
- B) A várható érték nem lehet tört.
- C) Harminc rekordnál nem számolható valószínűség.
Megoldókulcs és értelmezés
1. C. A lehetséges darabszámok valószínűséggel súlyozott átlaga 0 × 0,98 + 30 × 0,02 = 0,6.
2. A. Legalább egy pontosan akkor történik, amikor a közös hiba bekövetkezik; ennek esélye 2%.
3. A. A közös hiba egyszerre dönti el mind a harminc eredményt, ezért az egyedi elmaradási esélyek független szorzása nem indokolt.
0–1 pont: A független és a közös hibás modellnél külön sorban írd fel a lehetséges eseményszámokat, az átlagot és a legalább egy esélyét.
2 pont: A hibás vagy kihagyott válasz magyarázata alapján keresd vissza a kapcsolódó számítást, majd oldd meg újra azt a kérdést.
3 pont: A három feladatban helyesen alkalmaztad a cikk összefüggéseit. A következő adatellenőrzés előtt az esemény definíciója mellé a rekordok közös eredetét és feltételezett függetlenségét is rögzítsd. A rövid próba csak ezeket a tanulságokat ellenőrzi.