A CAGR azt az állandó éves növekedési ütemet adja meg, amely a kezdőértékből az adott időtáv végértékéhez vezetne. A rövidítés a compound annual growth rate kifejezésből származik. Nem mutatja meg az egyes évek tényleges változását. Azonos kezdő- és végértékhez több, egymástól nagyon eltérő köztes pálya tartozhat.
A képlet és a helyes időtáv
A számítás: CAGR = (záróérték / kezdőérték)^(1/évek száma) − 1. A kapott tizedes arányt százzal szorozva százalékot kapsz. A kezdőérték pozitív, az időtáv nullánál nagyobb legyen. A szokásos növekedési összehasonlítást pozitív végértékre használjuk.
Az évszámok számolása gyakori hibaforrás. A 2023. év végétől 2026. év végéig tartó időtáv három év, noha négy évszám szerepel a felsorolásban. A naptárban a két mérési időpont közötti időt mérd. Az eltérő szezonokban mért üzleti adatok pedig további értelmezést igényelhetnek akkor is, ha a képlet hibátlan.
Tízmillióból 17,28 millió három év alatt
Szemléltető adatsorunk kezdőértéke 10 millió, záróértéke 17,28 millió, az időtáv három év. Az értékek hányadosa 17,28/10 = 1,728. Ennek köbgyöke 1,2, így a CAGR 1,2 − 1 = 20%.
A visszaellenőrzés egymást követő szorzásokkal történik. 10 millió × 1,2 = 12 millió az első év végén. A második év végén 12 millió × 1,2 = 14,4 millió, a harmadik végén 14,4 millió × 1,2 = 17,28 millió. Ez az egyenletes pálya pontosan a megadott végértéket adja.
A teljes növekedés 72,8%. Ennek hárommal osztása 24,2667%-ot adna, amelyet évente tőkésítve már más végértéket kapnál. Az egyszerű éves elosztás és az összetett növekedés más kérdésre válaszol.
Mit fed el az átlagolt ütem?
Képzelj el egy másik, szintén szemléltető kétéves pályát: 100 egység először 150-re nő, majd visszaesik 100-ra. Az első éves változás +50%, a második −33,3333%. A két százalék számtani átlaga körülbelül +8,3333%, miközben a teljes növekedés nulla. A CAGR ebben az esetben 0%.
Ezért a CAGR mellett érdemes megőrizni az évenkénti értékeket is. A mutató nem közli a legnagyobb visszaesést, az időközi pénzigényt vagy azt, hogy egy üzlet a vizsgált időszak közepén veszteségessé vált-e. A végeredményből ezek nem állíthatók helyre.
Befizetés mellett miért torzulhat a következtetés?
Ha egy befektetési számla 1 millióról 2 millió forintra nőtt, de közben további 1 milliót fizettél be, a számlaérték növekedéséből önmagában nem következik befektetési hozam. Az új pénz és a hozam együtt szerepel a végösszegben. Ilyenkor a pénzmozgások időpontjait is figyelembe vevő hozamszámításra van szükség.
A teljes számla vizsgálatakor az értékpapírok és a számlán maradó pénz együttes értékét vezesd. Egy számlán belüli eladáskor a termék értéke pénzzé alakul; az eladási bevételt ezért ne rögzítsd még egyszer tulajdonosi befizetésként. Külső pénzmozgás az itt választott körbe kívülről bevitt vagy onnan kivont tőke. A számlán tartott pénz hozama is része a portfólió eredményének; ezt a GIPS módszertani kézikönyv 2.A.11 pontja is kifejezetten tartalmazza.
Többféle eredmény ugyanabból a kétéves számlatörténetből
A következő szemléltető esetben az első év elején egymillió forintot helyezel el. Az első év hozama +20%. Közvetlenül ennek elszámolása után további egymilliót fizetsz be, majd a második év hozama −10%. A példában nincs díj, adó vagy más pénzmozgás.
| Időpont, esemény | Számítás | Egyenleg |
|---|---|---|
| Indulás | Kezdőösszeg | 1 000 000 Ft |
| Első év vége, befizetés előtt | 1 000 000 × 1,20 | 1 200 000 Ft |
| Első év vége, befizetés után | 1 200 000 + 1 000 000 | 2 200 000 Ft |
| Második év vége | 2 200 000 × 0,90 | 1 980 000 Ft |
A csak kezdő- és végösszegre alkalmazott CAGR (1,98/1)^(1/2) − 1 ≈ 40,7125% évente. Ez a számlaérték változásából képzett szám a befizetést is növekedésnek veszi; befektetési hozamként félrevezető lenne.
Ha a befizetés hatásától elválasztva akarod értékelni a két év hozamát, a pénzmozgás előtti és utáni egyenlegekkel képezz külön részidőszakokat. A két hozamszorzó itt 1 200 000/1 000 000 = 1,20 és 1 980 000/2 200 000 = 0,90. Szorzatuk 1,08, vagyis az idővel súlyozott kétéves hozam 8%, évesítve 1,08^(1/2) − 1 ≈ 3,9230%. A GIPS elsődleges módszertani kézikönyve leírja a külső pénzmozgásoknál meghatározott részidőszaki hozamok geometriai összesítését.
A saját forintkülönbséged mégis 1 980 000 − 2 000 000 = −20 000 Ft. A veszteséges második évben több pénzed volt a számlán, mint a nyereséges elsőben. A 8%-os idővel súlyozott hozamot ezért nem alkalmazhatod a teljes kétmillió forintos befizetésre.
A befizetésekhez tartozó éves hozam is kiszámolható
Keressük azt az éves r rátát, amely mellett az induló egymillió két évig, az első év végén befizetett másik egymillió egy évig kamatozva pontosan 1 980 000 Ft-ot ad. Az egyenlet:
1 000 000 × (1 + r)² + 1 000 000 × (1 + r) = 1 980 000.
Egymillióval osztva és x = 1 + r jelöléssel x² + x − 1,98 = 0. A pozitív x megoldása (−1 + √8,92)/2, ezért az éves, pénzzel súlyozott hozam r ≈ −0,6682%. A kerekítetlen r visszahelyettesítése az első befizetés kétszeres és a második egyszeres kamatoztatásával adja vissza az 1 980 000 Ft-ot.
Ez ugyanannak a számlatörténetnek a befizetési időpontokat és összegeket figyelembe vevő mutatója. A pozitív, 3,9230%-os évesített idővel súlyozott hozam mellett a személyes pénzzel súlyozott hozam negatív, mert a rosszabb évben nagyobb összeg dolgozott. Szabálytalan dátumú befizetésnél a pontos eltelt időket is használni kell; az itt felírt másodfokú egyenlet az egyéves közökre érvényes. Ez a számítás külön kiegészítés, a CAGR-eszköz három alapadatából nem állítható elő.
A CAGR-kalkulátor alapadatai az időközi befizetést nem választják le. Ehhez a példához a befizetés előtti és utáni számlaértéket is meg kell őrizned, a részidőszaki számítást pedig külön elvégezned. Így el tudod dönteni, hogy a számla méretét, az időszakok hozamát vagy a saját befizetések forintban mért eredményét hasonlítod össze.
Nulla kezdőértéknél a hányados nem értelmezhető. Negatív nyereségből pozitív nyereségbe forduló vállalkozásnál is célszerű az abszolút változást és a köztes eredményeket bemutatni egy szokásos CAGR-százalék erőltetése helyett.
Ellenőrzés a kalkulátorban
A CAGR-kalkulátorba 10 000 000 kezdőértéket, 17 280 000 végértéket és három évet írj. A modell szerinti 20%-ot a három egymás utáni 1,2-es szorzással is ellenőrizheted. Saját kimutatásodban a mutató mellé mindig tedd oda a két dátumot, a mért mennyiséget és az esetleges külső befizetéseket.
A geometriai átlaghoz és az összetett éves hozamhoz: OpenStax – Risk and Return to an Individual Asset. Az itt szereplő számok saját szemléltető példák, jövőbeli növekedést nem jeleznek előre.
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Ez kézzel pontozható próba: minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont.
1. kérdés: 2023 végén 10 millió Ft, 2026 végén 17,28 millió Ft az érték. Hány évvel és mekkora CAGR-rel számolsz?
- A) Három évvel és évi 24,2667%-kal.
- B) Három évvel és évi 20%-kal.
- C) Négy évvel és évi 20%-kal.
2. kérdés: Az 1 millió Ft-os számla 1,98 millióra nőtt, közben újabb 1 milliót befizettél. Mit állíthatsz a két számlaértékből számolt CAGR-ről?
- A) Összekeveri a külső befizetést és a befektetési teljesítményt.
- B) A befektetés éves hozamát pontosan megadja.
- C) A befizetés időpontja minden hozammutatónál közömbös.
3. kérdés: A példában az első évi hozam +20%, a második −10%, köztük új befizetés történt. Miért lehet a TWR pozitív, a pénzzel súlyozott hozam pedig negatív?
- A) A két eredmény bizonyítja, hogy valamelyik képlet hibás.
- B) A veszteséges évben több saját pénz volt befektetve.
- C) A TWR összeadja a két éves hozamot.
Megoldások és magyarázatok
- 1. B. A két időpont között három teljes év telik el; 10 × 1,2³ = 17,28. A teljes százalékos növekedés elosztása hárommal kihagyja a kamatos növekedést. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: az eltelt évek és a CAGR.
- 2. A. A számla növekedésének egy része saját új pénz. A befizetés időpontját és a befizetés körüli portfólióértéket is ismerned kell a megfelelő hozamszámításhoz. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: a külső pénzmozgások elkülönítése.
- 3. B. Az idővel súlyozott összes szorzó 1,2 × 0,9 = 1,08. A második évre bevitt új egymillió is elszenvedte a 10%-os esést; az összes saját befizetéshez képest 20 000 Ft hiányzik. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: az idővel és pénzzel súlyozott hozam.
Mit jelent az eredményed?
- 0 pont: kezdd az alapösszefüggéssel: az eltelt évek és a CAGR. Számold végig a cikk kapcsolódó példáját.
- 1 pont: a két eltévesztett kérdés magyarázatához térj vissza, és írd le a megfelelő bemeneteket.
- 2 pont: a kihagyott vagy hibás kérdés témájában ellenőrizd a viszonyítási alapot és a feltételeket, majd számolj újra.
- 3 pont: a három vizsgált összefüggést helyesen alkalmaztad. Próbáld ki saját adatokkal, és a az idővel és pénzzel súlyozott hozam rész korlátait is jegyezd fel.