A percenként átfolyó vízmennyiség és a csőben kialakuló áramlási sebesség összefügg, de két külön mennyiség. Ugyanaz a 12 liter/perc egy vékonyabb csőben nagyobb átlagsebességet jelent, mint egy vastagabban. A kapcsolat megértéséhez a folyadék számára rendelkezésre álló belső keresztmetszetet kell kiszámítani.
A csőátmérő és áramlási sebesség kalkulátor két belső átmérőt hasonlít össze ugyanazzal a térfogatárammal. A megadott tartálytérfogatból elméleti töltési időt is ad. A modell állandó térfogatáramot, összenyomhatatlan folyadékot és teljesen kitöltött, kör keresztmetszetű csövet feltételez.
Térfogatáram, térfogat és sebesség
A térfogatáram azt mutatja, mennyi térfogat halad át egy keresztmetszeten egységnyi idő alatt. Gyakori egysége a liter/perc vagy a köbméter/óra. A sebesség ezzel szemben hosszúság/idő mennyiség, például méter/másodperc.
A folytonossági összefüggés egyszerű alakja: Q = A × v. Itt Q a térfogatáram, A a cső belső keresztmetszetének területe, v pedig az átlagos áramlási sebesség. Az átlagos jelző lényeges: a cső keresztmetszetének különböző pontjaiban eltérő helyi sebességek lehetnek.
Az OpenStax folyadékdinamikai fejezete ismerteti a térfogatáramot és a folytonossági egyenletet. Elágazás nélküli, állandósult és összenyomhatatlan áramlásnál azonos térfogatáram halad át az egymást követő keresztmetszeteken. Elágazásnál az ágak közötti megoszlást külön kell figyelembe venni.
A belső átmérőből számolj
Kör keresztmetszetnél A = π × d² / 4, ahol d a belső átmérő. A cső külső mérete, névleges méretjelölése és tényleges belső átmérője eltérhet. A folyadék útjának területéhez az utóbbi szükséges.
Ha a külső átmérő 20 mm, a falvastagság pedig 2 mm, az egyszerű geometriai példa belső átmérője 20 − 2 × 2 = 16 mm. A fal mindkét oldalon helyet foglal, ezért a vastagságot kétszer vonjuk le. Ez csak szemléltetés; valós csőhöz ellenőrzött gyártói vagy mért méretet használj.
A keresztmetszet az átmérő négyzetével változik. Kétszeres belső átmérő négyszeres területet ad, ezért változatlan térfogatáramnál negyedakkora átlagsebesség alakul ki a modellben. A százalékos átmérőváltozás ezért eltérő százalékos sebességváltozáshoz vezet.
A mértékegységek átváltása külön lépés legyen
Egy liter 0,001 m³, egy perc 60 másodperc. Emiatt 1 liter/perc = 1/60 000 m³/s. A 12 liter/perc érték tehát 0,0002 m³/s. A 16 mm belső átmérő méterben 0,016 m.
A négyzetre emelés miatt a milliméter és méter felcserélése különösen nagy hibát okoz. Ha a képletbe 16-ot írsz 0,016 helyett, a keresztmetszet egymilliószoros lesz. A kalkulátor mezője millimétert kér, és belül végzi el az átváltást; kézi levezetésben ezt neked kell következetesen megtenni.
A töltési időhöz használhatsz liter és liter/perc egységet is, mert ezek közvetlenül percet adnak. A lényeg az egységek egyezése. Köbméteres térfogatot liter/perc értékkel osztva előbb a térfogatot is megfelelően át kell váltani.
Számítás 16 és 20 mm belső átmérőre
A szemléltető térfogatáram 12 liter/perc, vagyis 0,0002 m³/s. A 16 mm-es cső keresztmetszete π × 0,016² / 4 ≈ 0,00020106 m². Az átlagsebesség 0,0002 / 0,00020106 ≈ 0,9947 m/s.
Húsz milliméter belső átmérőnél a keresztmetszet körülbelül 0,00031416 m². Ugyanazzal a térfogatárammal a sebesség körülbelül 0,6366 m/s. A két sebesség aránya (16/20)² = 0,64, tehát a nagyobb csőhöz 36%-kal kisebb átlagsebesség tartozik.
Harminckét milliméter belső átmérőnél körülbelül 0,2487 m/s adódna, az eredeti 16 mm-es eset negyede. Ezek az értékek összehasonlító geometriai eredmények. Egyik sem jelenti önmagában, hogy a hozzá tartozó áramlás az adott alkalmazásban megengedett, gazdaságos vagy megfelelő.
Miért feltétel a változatlan térfogatáram?
A példákban ugyanazt a 12 liter/perc értéket adtuk meg minden átmérőhöz. Ez azt jelenti, hogy a számítás a keresztmetszet változásának hatását vizsgálja rögzített térfogatáram mellett. Valós rendszerben egy cső cseréje a teljes rendszer ellenállását is módosíthatja, ami a tényleges térfogatáramra visszahat.
Ezért a kalkulátor eredményéből nem lehet kijelenteni, hogy egy vastagabb cső beszerelése után biztosan ugyanannyi víz folyik majd. Ahhoz a rendelkezésre álló nyomás, a rendszer jellemzői és adott esetben a szivattyú jelleggörbéje is szükséges.
Ezt külön, ideális lamináris modellel is megmutathatod. Teljesen kifejlett, állandósult, összenyomhatatlan newtoni folyadékáramlást tételezünk fel egyenes, vízszintes körvezetékben. Ha a cső hossza, a viszkozitás és a két vég közötti nyomáskülönbség azonos, a Poiseuille-összefüggés szerint Q az átmérő negyedik hatványával arányos.
Átmérőduplázáskor ebben a modellben Q 16-szoros, a keresztmetszet négyszeres, ezért az átlagsebesség négyszeres lesz. Ez eltér a rögzített Q esetén korábban kapott negyedakkora sebességtől: a két számításban más bemenet maradt állandó.
A lamináris feltételt mindkét állapotban ellenőrizni kell. Azonos sűrűség és viszkozitás mellett a Reynolds-szám a sebesség és átmérő szorzatával változik, itt nyolcszorosára. Egy saját, 100-as kiinduló Reynolds-számhoz 800 tartozna; a korábbi 12 liter/perces vízpélda később kiszámolt, körülbelül 15 915-ös értékére ezt a lamináris modellt nem alkalmazzuk.
A valós idomok, csőhossz és szivattyú miatt a rendszer munkapontja külön számítást kér. A DG kontinuitási eszközének feladata továbbra is az ismert térfogatáramhoz tartozó átlagsebesség kiszámítása.
Töltési idő és egyszerű térfogatáram-mérés
Egy 300 literes tartály 12 liter/perc állandó nettó beáramlással 300 / 12 = 25 perc alatt telne meg az üres állapottól. Ha már 80 liter van benne, a hiányzó 220 literre 18,33 perc, körülbelül 18 perc 20 másodperc adódik.
Ha a feltételek mellett egyidejűleg 2 liter/perc távozik, a nettó növekmény 10 liter/perc, és 300 literhez 30 perc tartozik. Ez kiegészítő kézi példa: a csősebesség-számításhoz továbbra is az adott cső saját térfogatáramát használd, ne automatikusan a tartály nettó változását.
Ismeretlen térfogatáramnál egy ismert térfogat megtöltési ideje egyszerű mérési alap lehet. Ha 10 liter összegyűjtése 50 másodpercig tart, az eredmény 0,2 liter/másodperc, vagyis 12 liter/perc. Ez az ötven másodperces szakasz átlagos térfogatárama; a közben fellépő ingadozás ebből az egy hányadosból nem látszik. Egy későbbi töltéshez akkor használhatod változatlan értékként, ha az üzemállapot és az állandóság feltevése is indokolt. Ismételt méréseknél ezért az időszakot és a beállításokat is rögzítsd.
Elérhető a kívánt töltési idő a választott sebességgel?
A 300 literes tartályban maradjon 80 liter, és a hiányzó 220 litert most 15 perc alatt szeretnéd betölteni. Ebben az esetben nincs kifolyás. Az állandó beáramláshoz legalább:
Q = 220 / 15 ≈ 14,67 liter/perc szükséges.
Vegyünk fel ehhez egy saját összehasonlítási célt: a csőbeli átlagsebesség legfeljebb 0,8 m/s legyen. Ez a példa megválasztott feltétele, általános megengedett sebességet nem állítunk vele. Az összefüggést most az átmérőre rendezzük:
d = √[4 × Q / (π × v)].
A térfogatáramot m³/s-ban kell behelyettesíteni: (220 / 15) / 60 000 ≈ 0,00024444 m³/s. A 0,8 m/s-os felső sebességgel d ≈ 0,019724 m, azaz 19,72 mm adódik. A két feltétel együtt a modellben legalább ekkora belső átmérőt kíván meg.
Ellenőrizzük az eredményt a korábbi csőméretekkel:
| Belső átmérő | Térfogatáram 0,8 m/s mellett | A 220 liter töltési ideje |
|---|---|---|
| 16 mm | 9,65 liter/perc | 22,80 perc |
| 20 mm | 15,08 liter/perc | 14,59 perc |
A 16 mm-es eset a felvett sebesség mellett nem fér bele a 15 percbe. A 20 mm-es geometria a két feltétellel összeegyeztethető: a pontosan 15 perces töltéshez tartozó 14,67 liter/perc mellett a sebesség körülbelül 0,7781 m/s, amely 0,8 alatt van.
A DG alapkalkulátorába a szükséges térfogatáramot, a 16 és 20 mm-es belső átmérőket, illetve 220 liter töltendő térfogatot viheted be. A szükséges minimális átmérőt a fenti átrendezéssel külön kaptuk meg.
A számtani összhang még nem bizonyítja, hogy a rendelkezésre álló nyomás vagy szivattyú biztosítja ezt a térfogatáramot. Először a szükséges Q és az ahhoz tartozó keresztmetszet kapcsolatát állapítottuk meg; a valós rendszer munkapontjához a veszteségeket és a nyomásviszonyokat is meg kell vizsgálni. A névleges kereskedelmi csőméret helyett itt végig a tényleges belső átmérő szerepel.
Mit árul el a Reynolds-szám?
A Reynolds-szám kalkulátor a sűrűséget, a dinamikai viszkozitást, a sebességet és a belső átmérőt használja. A dimenzió nélküli szám a tehetetlenségi és viszkózus hatások viszonyához kapcsolódik. Az OpenStax viszkozitási fejezete tárgyalja az áramlási tartományok és a viszkozitás szerepét.
A 16 mm-es példához szemléltető 1000 kg/m³ sűrűséget és 1 mPa·s dinamikai viszkozitást felvéve körülbelül 15 915-ös Reynolds-szám adódik. Ez a kalkulátor tájékoztató kategóriái szerint jellemzően turbulens tartomány. A konkrét folyadék adott hőmérsékletéhez tartozó viszkozitás szükséges a saját számításhoz.
A Reynolds-szám önmagában nem nyomásveszteség és nem szivattyúteljesítmény. A hidrosztatikai nyomás kalkulátora pedig nyugvó folyadék magasságkülönbségéhez kapcsolódó külön kérdést vizsgál. Ezek összekeverése helyett nevezd meg, melyik fizikai mennyiséget keresed, és ahhoz válaszd a következő lépést.
Mekkora pontosságot indokol a bemenet?
Az átlagsebesség fordítottan arányos az átmérő négyzetével. Ha a valós belső átmérő 16 helyett 15 mm lenne, változatlan térfogatáramnál a sebesség (16/15)² ≈ 1,138-szorosra, vagyis körülbelül 13,8%-kal nőne. Egyetlen milliméter tehát érzékelhető különbséget jelenthet ebben a mérettartományban.
A számítás mellé írd le a belső átmérő eredetét, a térfogatáram mérési módját és a feltételezett állandóságot. Ha bizonytalan az adat, készíts alsó és felső esetet. A több tizedesre kijelzett sebesség így nem fedi el, mekkora bizonytalanság volt már a kiinduló mérésben.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. A belső átmérő 16-ról 20 mm-re nő, a térfogatáram változatlan. Hányszoros lesz az átlagsebesség?
- A) 0,8-szeres.
- B) 1,25-szörös.
- C) 0,64-szeres, vagyis 36%-kal kisebb.
2. Egy külön Poiseuille-modellben azonos csőhossz, viszkozitás és nyomáskülönbség mellett duplázod az átmérőt; mindkét állapot lamináris. Hogyan változik Q és az átlagsebesség?
- A) Q 16-szoros, a sebesség 4-szeres.
- B) Q kétszeres, a sebesség feleakkora.
- C) Q változatlan, a sebesség negyedakkora.
3. 220 liter 15 perc alatt kerüljön a tartályba, kifolyás nélkül. A saját sebességcél legfeljebb 0,8 m/s. Mekkora minimális belső átmérő adódik a geometriai modellben?
- A) Pontosan 14,67 mm.
- B) Körülbelül 19,72 mm.
- C) 16 mm.
Megoldások és pontozás
1. C. A sebesség változatlan Q mellett az átmérő négyzetével fordítottan arányos, ezért v₂/v₁ = (16/20)² = 0,64. Ismétléshez: Számítás 16 és 20 mm belső átmérőre.
2. A. Itt a nyomáskülönbség marad állandó. A modellben Q ∝ d⁴, a terület ∝ d², így az átmérőduplázás 16-szoros Q-t és négyszeres sebességet ad. Ismétléshez: Miért feltétel a változatlan térfogatáram?.
3. B. A szükséges Q = 220/15 liter/perc. Ezt m³/s-ra váltva d = √[4Q/(π × 0,8)] ≈ 0,019724 m. A 14,67 a térfogatáram számértéke, nem átmérő. Ismétléshez: Elérhető a kívánt töltési idő a választott sebességgel?.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.