Az erőkar a forgástengely és az erő hatásvonala közötti merőleges távolság. Csak megfelelően merőleges erőnél egyezik meg a forgásponttól az erő támadáspontjáig mért rúdhosszal. Ha az erő iránya változik, ugyanaz a rúd eltérő forgatóhatást adhat.
Ideális kétoldalú emelő egyensúlyában a két ellentétes forgatónyomaték nagysága megegyezik: F × b = m × g × a. Itt a a teher, b a működtető erő merőleges erőkarja. A súlytalan, merev rudat és súrlódásmentes támaszt feltételező képlet a forgástengely körüli nyomatéki egyensúly feltételét adja meg. A teljes erőegyensúlyban a támaszerő is szerepel.
Egyensúly 15 kg teher mellett
Saját szemléltető példánkban a teher tömege 15 kg, erőkarja 18 cm, a működtető erő erőkarja 90 cm. A nehézségi gyorsulás feltételezett értéke g = 9,81 m/s². Az erők a megfelelő rúdkarokra merőlegesek.
A teher nehézségi ereje G = mg = 15 × 9,81 = 147,15 N. A 18 cm méterben 0,18 m, ezért a teher forgatónyomatéka M = 147,15 × 0,18 = 26,487 N·m.
Az ezt kiegyenlítő erő F = 26,487/0,90 = 29,43 N. Az ellenőrzés 29,43 × 0,90 = 26,487 N·m, tehát a két forgatónyomaték azonos nagyságú. A forgásirányaiknak ellentétesnek kell lenniük az egyensúlyhoz.
A mechanikai előny G/F = 147,15/29,43 = 5, amely a két erőkar aránya: 90/18 = 5. Az OpenStax egyszerű gépekről szóló fejezete ebből a nyomatéki kapcsolatból vezeti le az emelő erőarányát.
Ha a működtető erő ferdén hat
Maradjon a forgásponttól a működtetési pontig mért rúdtávolság 90 cm, de az erő most a rúddal 30°-ot zárjon be. Az erőkar ekkor b = r sin θ = 0,90 × sin 30° = 0,45 m.
A teher nyomatéka a feltételezésünk szerint továbbra is 26,487 N·m. A szükséges erő így F = 26,487/0,45 = 58,86 N. Az eredeti 29,43 N kétszerese kell, mert a működtető erő merőleges erőkarja a felére csökkent.
Ugyanez az erő merőleges összetevőjével is ellenőrizhető: 58,86 × sin 30° = 29,43 N. Ez az összetevő a 0,90 m-es rúdtávolságon hozza létre a szükséges nyomatékot. A forgatónyomaték rF sin θ alakját az OpenStax mechanikafejezete részletezi.
Ha az erő hatásvonala átmegy a forgásponton, az erőkar nulla. Ilyenkor ez az erő nem hoz létre forgatónyomatékot a választott tengely körül. A nullával osztás helyett a geometriát kell újraértékelni: nem adódik véges kiegyenlítő erő ezzel a hatásvonallal.
Ha az erő legfeljebb 40 N lehet
Legyen a következő feladatban a működtető erő felső határa 40 N. Ez választott számítási adat. A teher nyomatéka maradjon 26,487 N·m, a működtetési pont rúdtávolsága pedig 0,90 m. Most az erő és a rúd közötti szöget keressük a 0° < θ ≤ 90° tartományban, a terhet kiegyenlítő forgásiránnyal.
A szükséges erő F = 26,487/(0,90 sin θ). Ahhoz, hogy ez legfeljebb 40 N legyen, sin θ ≥ 26,487/(40 × 0,90) = 0,73575 szükséges. Ebből θ ≥ arcsin(0,73575) ≈ 47,3706°.
A szöghatár két oldalát külön is ellenőrizheted. 45°-nál F = 26,487/(0,90 sin 45°) ≈ 41,6203 N, ami túllépi a 40 N-t. 60°-nál F ≈ 33,9828 N, ami már belefér. Ebben a szögtartományban a merőlegeshez közeledő erőnek nagyobb az erőkarja, ezért kisebb erő elegendő ugyanahhoz a nyomatékhoz.
Ha a szög a feladatban rögzített 30°, a szükséges rúdtávolságra is visszaszámolhatunk: r ≥ 26,487/(40 sin 30°) = 1,32435 m. Ez 132,435 cm támadásponti távolság a forgásponttól; a merőleges erőkar ekkor 66,2175 cm.
A megoldhatóságot még a részletes szögkeresés előtt ellenőrizheted. A 0,90 m-es rúdtávolságon sin θ legfeljebb 1, ezért a legkisebb szükséges erő 26,487/0,90 = 29,43 N. Ennél kisebb erőhatárhoz ebben a geometriában nem tartozik megfelelő szög. Az eredmények a rúd saját tömegét továbbra is elhanyagolják, és a nyomatéki feltételt írják le; szilárdsági méretezést nem adnak.
A rúd saját súlya a támaszerőt is megváltoztatja
Az első példa rúdját most tekintsük vízszintesnek, egyenletes tömegeloszlásúnak és 2 kg tömegűnek. A rúd két vége a támasztól −0,18 m-nél és +0,90 m-nél legyen; a bal végén lefelé hat a teher, a jobb végén a működtetőerő. A rúd súlypontja a két végpont felezője, a támasztól 0,36 m-re jobbra.
A rúd saját súlya ezért a működtetőerővel azonos irányban forgat: 2 × 9,81 × 0,36 = 7,0632 N·m nyomatékot ad. Az egyensúlyhoz szükséges működtetőerő (26,487 − 7,0632)/0,90 = 21,582 N. A támasz felfelé ható ereje viszont a három lefelé ható erő összege: 147,15 + 19,62 + 21,582 = 188,352 N.
A saját tömeg itt csökkentette a szükséges külső erőt, közben növelte a támasz terhelését. Más súlyponthelyzetben a nyomaték előjele is megváltozhat. Ha a rúd saját, azonos irányú nyomatéka már meghaladná a teherét, a kivonás negatív működtetőerőt adna. Ez az előre feltételezett lefelé iránnyal ellentétes, felfelé ható erő szükségességét jelzi a jobb oldalon. Ilyenkor az erőegyensúlyt és a támaszerőt is az új előjellel kell felírni. A kezelő által kifejtett erő nagyságából önmagában nem következik a támasz vagy a rúd szilárdsági terhelése.
Kevesebb erőhöz nagyobb út tartozik
Az ötszörös erőarány nem csökkenti ötödére az ideális munkát. Kis elfordulás közelítésében, az első példa geometriájánál a teher 2 cm-es elmozdulásához a hosszabb oldalon körülbelül 10 cm elmozdulás tartozik.
A teher oldalán a munka 147,15 × 0,02 = 2,943 J. A működtető oldalon 29,43 × 0,10 = 2,943 J. A valós veszteségek ehhez további szükséges munkát adhatnak. A kisebb erő a nagyobb elmozdulással együtt értelmezhető.
Melyik hosszt add meg a kalkulátorban?
Az emelő- és erőkar-kalkulátor tömeget, két erőkart és g értékét kéri. A merőleges példához 15 kg, 18 cm és 90 cm tartozik. A ferde erős példánál a működtető erőkar 45 cm; a 90 cm-es rúdtávolságot előbb a szög alapján alakítottuk át.
A kalkulátor nem szögből keresi az erőkart, és nem vizsgál szilárdságot, támaszsúrlódást vagy biztonságos teherbírást. A saját tömegű rúd további nyomatékot adhat, a mozgás megindítása pedig eltérhet az ideális nyugalmi egyensúlytól. Előbb rajzold fel a hatásvonalakat és az erőkarokat; ezek pontossága dönti el, hogy a beírt hosszak a feladatodhoz tartoznak-e.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. 26,487 N·m nyomatékot kell kiegyenlíteni. A támadáspont 0,90 m-re van, az erő 30°-ot zár be a rúddal. Mekkora erő szükséges?
- A) 14,715 N.
- B) 58,86 N.
- C) 29,43 N.
2. Ugyanekkora nyomatékhoz 0,90 m támadásponti távolságon legfeljebb 40 N lehet az erő. A 0° < θ ≤ 90° tartományban melyik szög megfelelő?
- A) 30°, mert a rúdhossz változatlan.
- B) 45°, mert körülbelül 41,6203 N kell.
- C) 60°, mert körülbelül 33,9828 N kell.
3. Az egyenletes, 2 kg-os rúd súlypontja 0,36 m-rel a támasz jobb oldalán van, súlya a működtető erővel azonos irányban forgat. Mi történik a példában?
- A) A rúd saját súlya csak a teljes tömeget növeli, nyomatékot nem ad.
- B) Mindkét erő automatikusan csökken.
- C) A működtető erő 21,582 N-ra csökken, a támasz terhelése 188,352 N-ra nő.
Megoldások és pontozás
1. B. Az erőkar 0,90 × sin30° = 0,45 m. A szükséges erő 26,487/0,45 = 58,86 N. Ismétléshez: Ha a működtető erő ferdén hat.
2. C. A szükséges szög legalább arcsin[26,487/(40 × 0,90)] ≈ 47,3706°. A 60° teljesíti, a 45° és 30° nem. Ismétléshez: Ha az erő legfeljebb 40 N lehet.
3. C. A saját súly 7,0632 N·m-rel segíti a nyomatéki egyensúlyt, de a támasznak ezt a súlyt is tartania kell. A nyomatéki és erőegyensúlyt külön kell felírni. Ismétléshez: A rúd saját súlya a támaszerőt is megváltoztatja.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.