Gömbnél a felszín és a térfogat más ütemben változik a mérettel. A 20 cm-ről 40 cm-re növelt átmérő négyszeres felszínt és nyolcszoros térfogatot ad. Előbb döntsd el, a külső felület, a belső üreg vagy a fal anyagmennyisége a kérdés.
Először az átmérőből sugár
A képletek sugárral dolgoznak: A = 4πr² és V = 4πr³ / 3. A húszcentis gömb sugara 10 cm. Felszíne 400π ≈ 1256,64 cm², térfogata 4000π / 3 ≈ 4188,79 cm³, vagyis körülbelül 4,19 liter.
Ha véletlenül a 20 centimétert írod a sugár helyére, a felszín négyszeresét és a térfogat nyolcszorosát kapod. A bemeneti mező feliratát ezért minden esetben ellenőrizd. A sugarat és az átmérőt a jegyzeteidben is külön jelöld.
Mi történik negyvenszázalékos méretnövelésnél?
Az 1,4-szeres átmérő 1,4² = 1,96-szoros felszínt és 1,4³ = 2,744-szeres térfogatot jelent. A felület 96%-kal, a térfogat 174,4%-kal nő. A százalékos méretváltozás tehát nem vihető át változatlanul minden geometriai mennyiségre.
Ugyanezt használhatod visszafelé is. Azonos alak mellett kétszeres térfogathoz az átmérőt ∛2-vel, körülbelül 1,2599-cel kell szorozni. A térfogat megduplázásához így körülbelül 26%-os átmérő-növelés elegendő ideális gömbnél.
Üreges tárgynál két sugár szerepel
Egy gömb alakú tartály külső mérete a külső felszínhez használható. Befogadóképességhez a belső sugár kell. A fal anyagtérfogatát a külső és belső gömb térfogatának különbsége adja. Nyílások, csatlakozások és eltérő falvastagság mellett ez geometriai közelítés. A kalkulátor eredményéhez mindig írd oda, melyik felületet vagy térfogatot számoltad.
Üreges gömb számpéldája
Egy ideális gömbhéj külső sugara 10 cm, egyenletes falvastagsága 0,5 cm. A belső sugár 9,5 cm. A teljes külső gömb térfogata 4188,79 cm³, a belső üregé 4π × 9,5³/3 ≈ 3591,36 cm³. A fal anyagtérfogata a kettő különbsége, körülbelül 597,43 cm³, a befogadóképesség pedig 3,591 liter.
A 4,189 literes külső geometriai térfogatot befogadóképességként használva körülbelül 16,64%-kal becsülnéd túl az üreget. A fél centimétert az átmérőből egyszer levonni szintén hibás lenne: az átmérő két falvastagsággal csökken. A falvastagság legyen nemnegatív és kisebb a külső sugárnál, ha valódi üreget számolsz. Nyílások és csatlakozók térfogatát szükség szerint külön kezeld; a geometriai eredményből nyomásállóságra nem következtethetsz.
Kapcsolódó DG Kalkulátor megnyitása
Forrás és módszertani háttér
Módszer: a cikkben megadott összefüggésekből levezetett, saját szemléltető számítás.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és jegyezd fel az A, B vagy C betűt. Előbb oldd meg mindhárom feladatot, utána nézd meg a megoldásokat.
1. Kétszeres sugár mellett hogyan változik a térfogat?
- A) Nyolcszorosára
- B) Kétszeresére
- C) Négyszeresére
2. A 30 cm átmérőjű gömb sugara mennyi?
- A) 15 cm
- B) 30 cm
- C) 60 cm
3. 10 cm külső sugár és 0,5 cm falvastagság mellett melyik sugár kell az üreghez?
- A) 9 cm
- B) 9,5 cm
- C) 10,5 cm
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Legfeljebb 3 pont szerezhető. 3 pont: A mérethatványokat és a belső sugár meghatározását is helyesen alkalmaztad. 2 pont: nézd át az eltévesztett kérdésnél megnevezett részt, és számold újra annak példáját. 0–1 pont: haladj végig a három megoldáson, majd oldd meg újra a kérdéseket. Ez a rövid próba a cikk összefüggéseinek megértését ellenőrzi.
1. megoldás
A) Nyolcszorosára – A térfogat a sugár köbével arányos. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Először az átmérőből sugár.
2. megoldás
A) 15 cm – A sugár az átmérő fele. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Először az átmérőből sugár.
3. megoldás
B) 9,5 cm – A sugár mentén egy falvastagságot vonunk le: 10 − 0,5 = 9,5 cm. Az átmérőből két falvastagságot kellene levonni. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Üreges gömb számpéldája.