Három oldalból akkor szerkeszthető valódi háromszög, ha bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Ezt a feltételt a terület számítása előtt ellenőrizd. Ha teljesül, a kerület összeadásból, a terület pedig a félkerületet használó Hérón-képletből is meghatározható.
A három oldal ugyanannak a síkbeli alakzatnak a hosszmérete legyen, azonos mértékegységben. A ferde térbeli távolság és a vízszintes vetület összekeverése más alakzatot ír le. A számoló azokat a számokat dolgozza fel, amelyeket megadsz.
A leghosszabb oldallal kezdd az ellenőrzést
Pozitív oldalhosszaknál elegendő megnézni, hogy a két rövidebb összege meghaladja-e a leghosszabbat. Saját példánkban az oldalak 13, 14 és 15 cm. A két rövidebb összege 27 cm, ami nagyobb 15 cm-nél, így a háromszög létezik.
Öt, hat és tizenegy centiméter esetén viszont 5 + 6 = 11. A pontok egy egyenesre kerülnének, a terület nulla lenne. Ha a harmadik oldal 12 cm, a két rövidebb szakasz már el sem ér egymáshoz. A pozitív bemenet tehát csak az első ellenőrzési feltétel.
Terület a félkerületből
A 13, 14 és 15 cm-es háromszög kerülete K = 13 + 14 + 15 = 42 cm. A félkerület s = K / 2 = 21 cm. Hérón képlete T = √[s × (s − a) × (s − b) × (s − c)].
A behelyettesítés T = √[21 × (21 − 13) × (21 − 14) × (21 − 15)] = √(21 × 8 × 7 × 6). A gyök alatti szorzat 7056 cm⁴, ennek négyzetgyöke 84 cm². A négy hosszméret szorzata és a gyökvonás együtt adja a helyes területegységet.
A Hérón-képletet és koszinusztételt bemutató OpenStax-fejezet tartalmazza a használt összefüggést. A következő ellenőrzés a saját számpéldánkhoz készült.
Válasszuk alapnak a 14 cm-es oldalt. A hozzá tartozó magasság a T = alap × magasság / 2 összefüggésből h = 2 × 84 / 14 = 12 cm. A másik két oldal mellett így két derékszögű háromszög keletkezik. A 13 cm-es oldalhoz tartozó alapszakasz √(13² − 12²) = 5 cm, a 15 cm-eshez √(15² − 12²) = 9 cm. Az 5 + 9 = 14 cm visszaadja az eredeti alapot.
Ezzel a területet más úton is ellenőriztük: 14 × 12 / 2 = 84 cm². A második út jól láthatóvá teszi, hogy a 12 cm a magasság, nem valamelyik megadott oldal.
Mekkora terület lehetséges két rögzített oldal mellett?
Tegyük fel, hogy a 13 és 15 cm-es oldalt megtartod, a harmadik oldal hosszát viszont választhatod. Elérhető-e így 100 cm² terület?
Válaszd alapnak a 13 cm-es oldalt. A harmadik csúcsot az alap egyik végpontjával összekötő 15 cm-es oldal merőleges magassága legfeljebb 15 cm lehet. Ezért a terület felső határa:
T ≤ 13 × 15 / 2 = 97,5 cm².
A 97,5 cm² akkor valósul meg, ha a két rögzített oldal egymásra merőleges. A harmadik oldal ilyenkor √(13² + 15²) = √394 ≈ 19,8494 cm. A 100 cm²-es cél tehát ezekkel a rögzített oldalakkal nem teljesíthető; a számolóba próbált újabb harmadik oldalak ezen nem változtatnak.
Az sem igaz, hogy a harmadik oldal növelése végig növeli a területet. Ezt három saját változattal ellenőrizheted:
| Harmadik oldal | Terület | Geometriai helyzet |
|---|---|---|
| 14 cm | 84 cm² | Az előző számpélda |
| √394 cm | 97,5 cm² | A két rögzített oldal derékszöget zár be |
| 27 cm | Körülbelül 49,9218 cm² | A háromszög már közelít a kinyújtott helyzethez |
A 27 cm-es eset még létezik, mert 13 + 15 > 27. Félkerülete 27,5 cm, így Hérón képletében √(27,5 × 14,5 × 12,5 × 0,5) adja a táblázat területét. A hosszabb harmadik oldal itt kisebb magassággal jár együtt.
Területcél előtt ezért előbb a rögzített méretekből következő lehetőséget vizsgáld. Ebben a feladatban a 97,5 cm²-es felső határ gyorsabban kizárja a lehetetlen célt, mint sok harmadik oldal külön próbálgatása.
Egy területcélhoz két alakzat is tartozhat
A 13 és 15 cm-es oldal mellett a már kiszámolt 84 cm² terület sem választja ki egyedül a harmadik oldalt. Az eredeti, 14 cm-es harmadik oldallal a két rögzített oldal szögére a koszinusztétel cos α = (13² + 15² − 14²) / (2 × 13 × 15) = 33/65 értéket ad.
A 180° − α szög szinusza ugyanekkora, ezért a T = 13 × 15 × sin α / 2 terület is változatlan. Koszinusza viszont −33/65, így az új harmadik oldal négyzete 13² + 15² + 198 = 592 cm². A hossz √592 ≈ 24,3311 cm. Mind a 14, mind a 24,3311 cm körüli oldal a 84 cm²-es célt teljesíti; az egyik alakzat a két rögzített oldal között hegyes-, a másik tompaszöget használ.
Visszafelé méretezésnél ezért a terület mellé helyigényt, szögfeltételt vagy másik geometriai korlátot is adj meg, ha egyetlen megoldást szeretnél.
Mi történik majdnem egyenes háromszögnél?
Az 5, 6 és 10,99 egység oldalú háromszög még létezik, hiszen 5 + 6 nagyobb 10,99-nél. A különbség azonban mindössze 0,01 egység. Ha az oldalak mért adatok, ehhez hasonló mérési bizonytalanság már a létezési vizsgálat eredményét is befolyásolhatja.
Ha az oldalanként megengedett abszolút eltérés Δa, Δb és Δc, a legkedvezőtlenebb esetben a két rövidebb oldal csökken, a leghosszabb nő. Amíg c marad a leghosszabb oldal és minden hossz pozitív, az a + b − c > Δa + Δb + Δc feltétel biztosítja a valódi háromszöget az összes megengedett értékkombinációnál. Ha ez nem teljesül, a névleges háromszög még létezhet, de a megadott tartományból már nem következik egyértelmű létezés. Ha a megengedett tartományon belül másik oldal is lehet a leghosszabb, mindhárom oldalpár feltételét ellenőrizd.
Ilyenkor az idő előtti kerekítés különösen zavaró. A 10,99-et 11-re kerekítve már nulla területű elfajult alakzatot számolnál. Tartsd meg a mért értéket, és a mérési pontosságot külön értékeld. A több kijelzett tizedesjegy nem javítja a bemeneti mérés minőségét.
A háromszög-kalkulátorban válaszd a három ismert oldal módot. A 13, 14 és 15 értékből a terület és kerület mellett szögeket is kapsz. Az oldalakhoz azonos egységet használj; a 84-es területszám csak így rendelhető egyértelműen cm²-hez vagy más négyzetegységhez.
Valós anyagszükséglethez a geometriai terület csak az első lépés. Vágási veszteség, átfedés vagy peremráhagyás a tárgytól függő további adat. A háromszög területéhez ezeket ne keverd hozzá, így a tiszta geometria és a beszerzési mennyiség később is külön ellenőrizhető marad.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. 5, 6 és 11 cm-es oldalból szerkeszthető pozitív területű háromszög?
- A) Igen, mert minden oldal pozitív.
- B) Igen, mert a két rövidebb összege legalább akkora, mint a harmadik.
- C) Nem: 5 + 6 = 11, ezért elfajult, egyenes helyzet adódik.
2. Két rögzített oldal 13 és 15 cm. A harmadik szabadon választható. Elérhető a 100 cm²-es terület?
- A) Igen, ha a harmadik oldal elég hosszú.
- B) Igen, minden 13 + 15-nél kisebb harmadik oldal teljesíti.
- C) Nem: a legnagyobb terület 97,5 cm².
3. 13 és 15 cm-es rögzített oldalakhoz 84 cm² terület kell. Egyértelműen 14 cm a harmadik oldal?
- A) Nem, egyetlen harmadik oldal sem adhatja ezt a területet.
- B) Igen, a terület mindig egyértelműen kiválasztja a harmadik oldalt.
- C) Nem; a √592 ≈ 24,3311 cm-es harmadik oldal is ezt a területet adja.
Megoldások és pontozás
1. C. Valódi háromszöghöz szigorú egyenlőtlenség kell: a két rövidebb összege nagyobb legyen a leghosszabbnál. Az egyenlőség nulla területű határeset. Ismétléshez: A leghosszabb oldallal kezdd az ellenőrzést.
2. C. T = 13 × 15 × sin α/2, és sin α ≤ 1. A maximum a két rögzített oldal derékszögénél 97,5 cm². Ismétléshez: Mekkora terület lehetséges két rögzített oldal mellett?.
3. C. A két rögzített oldal közti α és 180°−α szög szinusza azonos, ezért a terület egyezik. A koszinusz előjele eltér, ezért két különböző harmadik oldal adódik. Ismétléshez: Egy területcélhoz két alakzat is tartozhat.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.