A hordó térfogatához a belső alakot kell közelítened. A hordótérfogat-kalkulátor két csonkakúpos modellje külön használja a középső és a végi átmérőt. A hossz, az átmérők és a választott alakmodell együtt határozzák meg az előzetes kapacitást.
A számítás általános edénymennyiség-tervezésre szolgál. Az adott folyadék tárolási, élelmiszer-biztonsági vagy technológiai feltételeit nem határozza meg. A geometriai becslés mellett szükség lehet a gyártó kapacitásadatára vagy ellenőrzött feltöltéses mérésre.
Belső méretekkel dolgozz
Legyen a hordó belső hossza 80 cm, középső belső átmérője 70 cm, a két végén mért belső átmérője pedig egyaránt 60 cm. A képlet sugarakkal számol, tehát a középső sugár R = 35 cm, a végi sugár r = 30 cm.
Külső méret használatakor a falvastagság is térfogatként jelenne meg, ezért túlbecsülnéd a befogadóképességet. Vastag falú edénynél ez különösen jelentős lehet. Az edény szájának átmérője önmagában nem feltétlenül azonos a végi belső keresztmetszettel.
A modell szimmetrikus hordót feltételez. Ha a két vég különbözik vagy a legszélesebb rész nem középen van, két külön hosszúságú csonkakúppal is számolhatsz, megfelelően felmért méretekkel.
A közelítő képlet
Két azonos hosszúságú csonkakúp összege ebben az elrendezésben:
V = π × L × (R² + R × r + r²) / 3.
A számok behelyettesítésével a zárójel 1225 + 1050 + 900 = 3175 cm². A térfogat π × 80 × 3175 / 3 = 265 988,18 cm³, vagyis körülbelül 265,99 liter.
A centiméteres bemenet köbcentimétert eredményez. Literhez ezerrel osztunk. Ha az átmérőket sugarak helyett közvetlenül a képletbe tennéd, a másodfokú tagok miatt négyszeres térfogatot kapnál.
Mit adna a kétféle hengerbecslés?
A kisebb, 60 cm-es átmérőjű henger térfogata π × 30² × 80 / 1000 ≈ 226,19 liter. A teljes hosszra 70 cm-es átmérőt feltételező hengeré π × 35² × 80 / 1000 ≈ 307,88 liter.
A két csonkakúppal kapott 265,99 liter a két érték között helyezkedik el. A három szám azt mutatja, milyen erősen függ az eredmény az alak feltételezésétől. A ténylegesen ívelt palást térfogata eltérhet a lineárisan szélesedő csonkakúpmodellétől.
Ezért a becslés tizedesjegyeit ne téveszd össze mérési pontossággal. A 265,98818 literes kijelzés nem jelenti azt, hogy milliliterre ismerjük a hordó kapacitását. A méretfelvétel és az alakmodell bizonytalansága ennél jóval nagyobb lehet.
Töltési arány és darabszám
Ha saját technológiai vagy kezelési döntés alapján 90%-os töltési aránnyal számolsz, egy hordó használható térfogata 265,98818 × 0,90 = 239,38936 liter. Ez a 90% csak a példánk feltétele; a megfelelő szabad tér a tárolt anyagtól és a folyamat követelményeitől függ.
Ötszáz liter tárolásához 500 / 239,38936 = 2,0886, tehát legalább 3 ilyen hordó szükséges. Két hordó összesen körülbelül 478,78 litert fogadna be a feltételezett töltési szintig, vagyis 21,22 liter hiányozna.
A harmadik hordót ettől még nem kell ugyanannyira megtölteni. Az edényszám egészre kerekítését és az egyes edények feltöltését külön kezeld. A szállíthatóságot a folyadék sűrűségéből és az edény saját tömegéből tovább kell számolni.
Ellenőrzés a gyakorlatban
A becslés mellé jegyezd fel, mely átmérőket, mely magasságban és milyen eszközzel mértél. Ha a gyártó névleges kapacitást ad meg, vizsgáld meg, milyen töltési szintre vonatkozik. A teljes geometriai térfogat és a biztonságosan használható térfogat eltérő mennyiség lehet.
Tíz százalékkal szélesebb hordó nem tíz százalékkal nagyobb
Tartsd meg a 80 cm-es hosszt, és az eredeti mindkét átmérőt növeld 10%-kal. A középső átmérő 77 cm, a végi 66 cm lesz. A sugarak szintén 1,10-szeresek, így a képlet minden sugárszorzata 1,10² = 1,21-szeresére változik.
A korábbi 265,988… literből ezért 321,85 liter adódik, tehát a térfogat 21%-kal nő. Ha közben a hossz is 10%-kal nagyobb lenne, a teljes szorzó 1,10³ = 1,331, azaz 33,1%-os növekedéshez jutnál. A méretarányok külön kezelésével még a részletes behelyettesítés előtt ellenőrizhető az eredmény nagyságrendje.
Két hordó összehasonlításakor ezért ne csak a névleges átmérőt nézd. Jegyezd fel a hosszt és a végi keresztmetszeteket is. Az alakváltozás, a falvastagság vagy egy eltérő fenékkialakítás továbbra is kivezethet a közös csonkakúpmodellből; ekkor tényleges kapacitásmérés kell.
Gyakori kérdések
Mi történik, ha a két sugár azonos?
A képlet hengerre egyszerűsödik: a zárójel háromszoros sugárnégyzetét a hárommal osztás kiegyenlíti, így V = π × L × r².
A két csonkakúp pontosan leír egy fahordót?
Közelítés. Az ívelt palást, a fenék kialakítása és az aszimmetria eltérést okozhat.
A 90%-os töltés általános ajánlás?
Nem. A számításban szabadon megválasztott példafeltétel, a tényleges alkalmazáshoz megfelelő tárolási előírás szükséges.
Wolfram MathWorld – Csonkakúp – a kör alapú csonkakúp térfogatképletének levezetése.
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és jegyezd fel a betűjelét. Minden helyes válasz 1 pont; a hibás, kihagyott vagy több betűvel jelölt válasz 0 pont. Legfeljebb 3 pontot szerezhetsz. A megoldókulcsot a válaszadás után olvasd el.
1. Csak mindkét átmérő nő 10%-kal, a hossz változatlan. Mennyivel nő a modell térfogata?
- A) 33,1%-kal.
- B) 21%-kal.
- C) 10%-kal.
2. Minden lineáris méret 10%-kal nő azonos alak mellett. Mi a térfogatszorzó?
- A) 1,331
- B) 1,10
- C) 1,21
3. Átmérőt írsz a sugár helyére, minden más adat helyes. Mekkora hibás szorzó jelenik meg?
- A) Négyszeres térfogat.
- B) Nyolcszoros térfogat.
- C) Kétszeres térfogat.
Megoldókulcs és értelmezés
1. B. A két sugár 1,10-szeresére nő, a négyzetes és szorzatos tagok 1,21-szeresek lesznek.
2. A. A hossz és a keresztmetszeti méretek együtt köbös skálázást adnak: 1,10³.
3. A. Mindkét sugár tévesen kétszeres; a négyzetes tagok négyszeresek, a hossz változatlan.
0–1 pont: Nézd át a sugár–átmérő átváltást és a két-, illetve háromirányú méretváltozás szorzóit.
2 pont: A hibás vagy kihagyott válasz magyarázata alapján keresd vissza a kapcsolódó számítást, majd oldd meg újra azt a kérdést.
3 pont: A három feladatban helyesen alkalmaztad a cikk összefüggéseit. A saját edényed méreteivel előbb végezz arányellenőrzést, majd hasonlítsd össze a becslést a gyártói kapacitással vagy méréssel. A rövid próba csak ezeket a tanulságokat ellenőrzi.