Egy meleg test hőmérséklete két mérési időpontban ismert. Ebből gyakran szeretnénk megbecsülni, mikor kerül egy megadott hőmérséklet közelébe. A két pontot követő görbe azonban önmagában még nem igazolja, hogy a test később is ugyanúgy viselkedik.
A következő saját számpélda állandó környezeti hőmérsékletet, közel egyenletes belső hőmérsékletet és változatlan hőátadási körülményeket feltételez. Fázisváltozás és belső hőtermelés nincs. A modell oktatási célú; élelmiszer-biztonsági, egészségügyi vagy üzemi határidőt nem határoz meg.
A környezethez mért különbséget felezd
Legyen a környezet 20 °C, a test kezdeti hőmérséklete 80 °C. Tizenkét perccel később 50 °C-ot mérünk. A környezet feletti hőmérséklet-különbség így 60 °C-ról 30 °C-ra csökken: a különbség feleződött.
A Newton-féle hűlés egyszerű alakja T(t) = Tₖ + (T₀ − Tₖ) × e^(−kt). Ebből a hűlési állandó k = ln(60/30)/12 = ln(2)/12 ≈ 0,05776 perc⁻¹. A percenkénti egység fontos, mert a mérési időt percben adtuk meg. Itt k pozitív, a csökkenést az exponens külön mínuszjele adja. Más levezetésben az e^(kt) alakhoz negatív k tartozhat; a két előjel-megállapodást ne keverd össze.
Az OpenStax differenciálegyenleti fejezete tárgyalja a hőmérséklet-különbséggel arányos hűlési modellt. A fenti mérési adatok és az alábbi előrejelzések saját szemléltető számítások.
Számold ki a következő ellenőrzőpontot
Változatlan k mellett újabb tizenkét perc után a környezet feletti különbség ismét feleződik. A 24. percben így 20 + 15 = 35 °C a becslés. A 36. percben 27,5 °C, a 48. percben 23,75 °C adódik.
A teljes Celsius-hőmérséklet tehát nem feleződik tizenkét percenként. A 80, 50, 35, 27,5 sorozatban mindig a 20 °C-os környezethez képesti eltérés változik azonos arányban. Ez a különbség a grafikon értelmezésénél is lényeges.
A Newton-hűlés kalkulátorban az azonos egységű időt, környezetet és mérést használd. A k paramétert önmagában más méretű testre vagy más légáramlásra átvinni külön indoklást igényel.
Mikor érjük el a 25 °C-ot?
A célhőmérséklet a környezetnél 5 °C-kal magasabb. A kezdeti 60 fokos különbségnek tehát az egy tizenketted részére kell csökkennie. A szükséges idő t = ln(60/5)/k ≈ 43,02 perc.
Ez összhangban áll a 36. és a 48. percre számolt értékekkel: a cél közéjük esik. Pontosan 20 °C-ot az ideális exponenciális modell csak határértékként közelít. A környezet alatti célhőmérséklet ebben a hűlési helyzetben nem érhető el.
A közeli célokra kapott idő különösen érzékeny lehet a mérésekre. Ha a tizenkettedik percben 50 helyett 52 °C-ot mérnénk, az illesztett k kisebb lenne, és a 25 °C elérésére 47,44 perc adódna. Ez körülbelül 4,42 perc eltérés két fok mérési különbségből.
A harmadik mérés ne maradjon ki
Tegyük fel, hogy a 24. percben a várt 35 °C helyett 42 °C-ot mérünk. A +7 °C-os eltérés már külön ellenőrizendő jel: változhatott a környezet, a hőátadás, a mérés helye vagy a test belső hőmérséklet-eloszlása.
Ettől még nem tudjuk egyetlen adatból megmondani, melyik feltételezés hibás. A grafikus számológépben az illesztett görbe mellé az összes mérési pontot érdemes felvenni. A két illesztési pontra tökéletes egyezés várható; a külön megfigyeléseknek van ellenőrző szerepük.
A két egymást követő szakaszból külön is számolj állandót
A 24. percben mért 42 °C-ot most használd diagnosztikai összevetésre. A környezet maradjon 20 °C, a három mérés pedig 80, 50 és 42 °C a 0., 12. és 24. percben. Az első tizenkét percben a többlethőmérséklet 60-ról 30 fokra, a másodikban 30-ról 22 fokra csökken.
Az első szakasz illesztett állandója ln(60/30)/12 ≈ 0,05776 perc⁻¹. A másodiké ln(30/22)/12 ≈ 0,02585 perc⁻¹. A második szakaszban tehát jóval lassabb a relatív csökkenés. A három pont pontos értékként kezelve nem illeszkedik egyetlen változatlan k-jú görbére az adott 20 °C-os környezet mellett.
Az sem oldja meg ezt, ha a középső mérést kihagyva a 0. és 24. perc alapján új görbét illesztesz. Ekkor k = ln(60/22)/24 ≈ 0,04180 perc⁻¹. Ez a görbe a 12. percre 20 + √(60 × 22) ≈ 56,33 °C-ot adna az 50 °C-os mérés helyett. Az új illesztés két végpontja egyezne, miközben a középső mérés eltérése megmaradna.
Az állandó arányossági tényezőt feltételező hűlési modell ellenőrzésekor ezért minden megfigyelést őrizz meg. Ha az eltérések a mérési bizonytalansághoz képest számottevőek, a környezeti hőmérsékletet, a mérés helyét és a hőátadási körülményeket vizsgáld meg. Az újraillesztett paraméter önmagában nem igazolja, hogy az eredeti feltételek továbbra is fennállnak.
Gyakori kérdések
A k állandó az anyag rögzített tulajdonsága?
Ebben az egyszerű modellben a test, a környezet és a hőátadás együttes viselkedését foglalja össze. Más méret vagy légáramlás más értéket eredményezhet.
Miért hibás a 80 °C egyszerű felezése?
A feleződés a környezethez képesti különbségre vonatkozik. A példában a 60 °C-os eltérés feleződik, ezért a következő érték 50 °C.
A harmadik mérési eltérés bizonyítja a mérő hibáját?
Önmagában nem. A mérési bizonytalanságot és a modell feltételeinek változását egyaránt vizsgálni kell.
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. A megoldások ellenőrzése után minden helyes válaszért 1 pontot adj magadnak; a hibás, kihagyott vagy több válasszal megjelölt kérdés 0 pont. Összesen 0–3 pont szerezhető.
1. A környezet 20 °C, a test 80 °C-ról 50 °C-ra hűl. Mi feleződött?
- A) A teljes Celsius-hőmérséklet.
- B) A környezethez képesti különbség, 60-ról 30 fokra.
- C) A környezeti hőmérséklet.
2. A következő 12 percben 50-ről 42 °C-ra változik a test. A 20 °C-os környezet fölötti különbség ismét feleződött?
- A) Igen, mert ugyanannyi idő telt el.
- B) Igen, mert a test tovább hűlt.
- C) Nem, 30-ról 22 fokra csökkent; ez eltér a várt 15 foktól.
3. Az első és harmadik pontra új görbét illesztesz. Miért kell a második pontot is rajta tartani az ellenőrző ábrán?
- A) Mert a két végpont egyezése mellett a középső pontra 56,33 °C jósolható, ami eltér az 50 °C-os méréstől.
- B) Mert a középső pontot az új görbéhez kell átírni.
- C) Mert két pont minden későbbi mérést bizonyít.
Megoldások és pontszám
1. B. A Newton-modell a test és környezete közötti eltérést használja. 80 − 20 = 60, 50 − 20 = 30.
2. C. A változatlan k azonos idő alatt azonos arányú csökkenést adna. A második szakasz 22/30-as aránya nagyobb az első 1/2-es arányánál.
3. A. Az illesztéshez felhasznált pontok egyezése várható. Az összes mérés együttes összevetése mutatja meg a változatlan modell korlátját.
3 pont: Az illesztést és a külön ellenőrző adatot is megkülönböztetted. A saját görbéd mellett minden mérési időt és környezeti adatot őrizz meg.
2 pont: Az 1. kérdéshez a környezet fölötti különbséget, a 2.-hoz a két 12 perces szakasz k-ját, a 3.-hoz a 56,33 °C-os visszabecslést nézd át.
0–1 pont: Vond le minden mérésből a környezeti hőmérsékletet. Az egymást követő azonos időszakok arányát hasonlítsd össze, és csak utána értékeld az állandó k feltevését.