A kis szögű kettősrés-képlet használatát megengedett hibához kösd. A maximum rendje és a hullámhossz/résköz aránya dönti el, mennyire tér el a lineáris helybecslés a trigonometriai geometriától. Az ernyőtávolság mindkét helykoordinátát azonos arányban nyújtja.
A kettősrés-interferencia kalkulátorban a hullámhosszt, a résközéppontok távolságát, az ernyőtávolságot és a maximum rendjét kell megfelelő egységgel megadni. Az alábbiak számítási példák; lézeres kísérlet felépítésére vagy biztonságos végrehajtására nem adnak útmutatót.
Először a szög feltétele
Az idealizált maximum feltétele d × sin(θ) = m × λ. Itt d a két rés középpontjának távolsága, λ a hullámhossz, m az egész rendszám. A szögből a merőlegesen álló ernyő helykoordinátája y = L × tan(θ).
A számítás koherens, egyszínű fényt és a résköznél sokkal nagyobb ernyőtávolságot feltételez. A „pontos geometriai” kifejezés ebben a cikkben az így választott modellen belüli trigonometriai számítást jelenti.
A középső maximumhoz m = 0 tartozik. A pozitív és negatív rendszám az ernyő két oldalát jelöli. Az előjel ezért a helyet megkülönbözteti, de a középponttól vett távolság nagyságát nem változtatja meg.
Harmadrendű maximum saját adatokkal
Legyen λ = 600 nm, d = 0,3 mm, L = 2 m, m = 3. Átváltva a hullámhossz 600 × 10⁻⁹ m, a résköz 0,0003 m.
A szinusz argumentuma 3 × 600 × 10⁻⁹ / 0,0003 = 0,006. A geometriai számítás eredménye y ≈ 0,012000216 m, azaz 12,000216 mm.
A kis szögű közelítés y ≈ m × λ × L / d, ami ezekkel az adatokkal 12 mm. A különbség körülbelül 0,000216 mm, relatíve 0,0018%. A példában a közelítés ezért a legtöbb ilyen egyszerű összehasonlításhoz gyakorlatilag azonos számot mutat.
Ugyanezekkel az adatokkal magasabb rend
Most maradjon minden bemenet változatlan, de vizsgáljuk a 100. rendet. A szinusz argumentuma 0,2. A pontos geometriai pozíció körülbelül 408,248 mm, a lineáris közelítés 400 mm.
A különbség 8,248 mm, ami a közelítő értékhez viszonyítva hozzávetőleg 2,06%. A pontos értékhez viszonyítva kissé más százalékot kapnánk, ezért a nevezőt az összehasonlításban is meg kell nevezni.
A példa azt mutatja, hogy a kis rendnél megfelelő egyszerűsítés a teljes ernyő minden maximumára automatikusan nem terjeszthető ki. A megengedett pozícióhiba dönti el, hogy a közelítés elég-e.
A szomszédos csíkok távolsága
A középső tartomány kis szögű közelítésében a csíktávolság Δy ≈ λ × L / d. A példánkban ez 4 mm. A középső maximumtól a harmadikig így három ilyen távolság, összesen 12 mm adódik.
Ez a 4 mm közelítő központi csíktávolság. A teljes trigonometriai geometriában a nagyobb szögű maximumok helyzete nem alkot pontosan azonos lépésközű sorozatot.
A jegyzetben ezért külön szerepeljen, hogy a csíktávolságot központi közelítésből vagy konkrét, egymás utáni pontos pozíciók különbségéből számoltad.
Érvényes bemenet és látható maximum
A szinusz argumentumának nagysága legfeljebb 1 lehet. Az 1-hez tartozó 90 fokos irány azonban egy véges, előre elhelyezett ernyőn nem ad véges y-koordinátát. A véges pozíció számításában ezért ennél kisebb abszolút érték szükséges.
Az elméleti maximumrend létezése még nem jelenti, hogy egy valódi eszközön jól látható csík lesz. A rések szélessége, a fény koherenciája, az intenzitáseloszlás és a detektor tulajdonságai is számítanak. Ezeket a helykoordináta egyszerű modellje nem vizsgálja.
A kalkulátor közelítési figyelmeztetéseit és tartományellenőrzéseit érdemes megtartani az exportált eredmény mellett. A hibás bemenet elutasítása hasznosabb, mint egy fizikailag értelmezhetetlen szám feltüntetése.
Saját 1%-os hibakorlátból legnagyobb rendszám
Az eredeti 600 nm-es hullámhossznál és 0,3 mm-es résköznél jelöld u-val az m × λ / d arányt. Ekkor u = 0,002 × m, a geometriai hely y = L × u / √(1 − u²), a lineáris becslés pedig L × u. Pozitív rendnél a különbség lineáris becsléshez viszonyított aránya 1 / √(1 − u²) − 1.
Válassz saját ellenőrzési feltételként legfeljebb 1% eltérést. Ez u ≤ √(1 − 1 / 1,01²) ≈ 0,140371, tehát m ≤ 70,185 feltételt ad. Az egész pozitív rendszámok közül így legfeljebb a 70. rend fér bele. A középső, nulladik hely mindkét képletben nulla, ott ez a relatív osztás nem értelmezett.
Két közeli értékkel is ellenőrizheted a határt. Kétméteres ernyőtávolságnál a 70. rend lineáris helye 280 mm, geometriai helye 282,785 mm; a relatív eltérés 0,99465%. A 71. rendnél a 284 mm-es becsléshez 286,907 mm tartozik, 1,02371% eltéréssel. A korlát így ténylegesen a két egész rend közé esik. Az 1% választott pontossági cél, a csík láthatóságáról nem ad állítást.
Gyakori kérdések
A rés szélessége és a résköz ugyanaz?
Nem. Ebben a maximumhely-képletben a két rés középpontjának távolsága szerepel.
Negatív rendszám hibás bemenet?
A középpont másik oldalát jelölheti. A megfelelő szimmetrikus modellben a koordináta előjele változik.
A pontos geometriai képlet teljes optikai szimuláció?
Nem. A maximum helyét számolja a választott interferenciamodellben; az intenzitást és a valós berendezés összes hatását nem.
Módszertani forrás
OpenStax – Interferencia és a maximumok helye
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és jegyezd fel a betűjelét. Minden helyes válasz 1 pont; a hibás, kihagyott vagy több betűvel jelölt válasz 0 pont. Legfeljebb 3 pontot szerezhetsz. A megoldókulcsot a válaszadás után olvasd el.
1. A számítás m ≤ 70,185 feltételt ad egész pozitív rendekre. Melyik a legnagyobb megengedett rend?
- A) 69
- B) 70
- C) 71
2. A 71. rend hibája a lineáris értékhez képest 1,02371%. Megfelel a választott legfeljebb 1%-nak?
- A) Igen, mert a szinusz argumentuma egynél kisebb.
- B) Igen, mert kerekítve 1%.
- C) Nem, az előírt saját hibakorlátot meghaladja.
3. Csak az ernyőtávolságot duplázod meg. Mi történik ezzel a relatív közelítési hibával?
- A) Változatlan marad; mindkét helykoordináta kétszeres.
- B) Felére csökken.
- C) Kétszeres lesz.
Megoldókulcs és értelmezés
1. B. Az egész rend nem lépheti túl a határt: 70 megfelel, 71 már nem.
2. C. A számítást a kerekítés előtti érték alapján kell összevetni a korláttal. Az érvényes szög még nem bizonyít elég pontos közelítést.
3. A. A relatív arányból a közös L szorzó kiesik. Az abszolút milliméteres eltérés közben kétszeres lesz.
0–1 pont: A 70. és 71. rendnél különítsd el a geometriai érvényességet és az 1%-os saját pontossági követelményt, majd ellenőrizd a százalék nevezőjét.
2 pont: A hibás vagy kihagyott válasz magyarázata alapján keresd vissza a kapcsolódó számítást, majd oldd meg újra azt a kérdést.
3 pont: A három feladatban helyesen alkalmaztad a cikk összefüggéseit. A következő optikai számításban előre nevezd meg a megengedett abszolút vagy relatív helyhibát, és ezzel válassz közelítést. A rövid próba csak ezeket a tanulságokat ellenőrzi.