A pontok közti távolság és a szakasz felezőpontja külön művelettel számolható. A távolságnál a koordinátakülönbségeket használod; a felezőpontnál a megfelelő koordináták átlagát. A rajz tengelyeinek léptékét még a számítás előtt ellenőrizd.
A távolság két eltérésből áll össze
Legyen A = (2; 3) és B = (8; 11). A vízszintes eltérés 8 − 2 = 6, a függőleges 11 − 3 = 8. A pontokat összekötő szakasz egy derékszögű háromszög átfogója, ezért hossza √(6² + 8²) = 10 koordinátaegység.
Általánosan d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. A pontok sorrendjét felcserélve mindkét különbség előjele megváltozik, a négyzetük viszont azonos marad. A távolság ezért mindkét irányban ugyanannyi. Azonos pontoknál nulla lesz az eredmény.
Hol van a felezőpont?
A felezőpont koordinátái az azonos tengelyhez tartozó értékek átlagai. A példában F = ((2 + 8) / 2; (3 + 11) / 2) = (5; 7). Ellenőrzésként az A és F közötti eltérés (3; 4), amelynek hossza 5. Az F és B közötti távolság szintén 5.
Ha egy koordinátaegység a rajzon 20 centimétert jelent, a tízegységes távolság 200 centiméter. Azonos tengelyléptéknél a kapott távolságot a végén egyszer szorozd meg a léptékkel. Ha az x és y tengely eltérő léptékkel készült, előbb mindkét eltérést valós hosszúságra kell alakítani.
Hol ér véget a módszer?
Földrajzi szélesség és hosszúság esetén a fokban megadott számokat nem szabad ezzel automatikusan méterként kezelni. A földfelszíni távolság más geometriai modellt igényel. Alaprajznál pedig ellenőrizd, hogy a rajzot aránytartóan méretezték-e. A kalkulátorba síkbeli koordinátákat adj meg, majd a kapott egységet a rajz léptéke alapján értelmezd.
Eltérő lépték a két tengelyen
Tegyük fel, hogy két pont koordinátakülönbsége x irányban 3, y irányban 4 egység. Az x tengelyen egy egység 2 cm-t, az y tengelyen egy egység 1 cm-t jelent. A fizikai eltérések 6 és 4 cm, ezért a távolság √(6² + 4²) = √52 ≈ 7,21 cm. A koordinátákból kapott 5 egységet ebben az esetben nem lehet egyetlen közös léptékkel átváltani.
A felezőpont az egyes tengelyek mentén továbbra is a koordinátaátlagból adódik, ha mindkét skála lineáris. A (0; 0) és (3; 4) pont közepén így (1,5; 2) áll; a fizikai félút √(3² + 2²) ≈ 3,61 cm. Logaritmikus tengelynél vagy torzított képnél ezt az értelmezést újra ellenőrizni kell. Ha a két fél távolsága eltér, keresd az elírt előjelet, a felcserélt koordinátát vagy a hibás léptéket.
Kapcsolódó DG Kalkulátor megnyitása
Forrás és módszertani háttér
Módszer: a cikkben megadott összefüggésekből levezetett, saját szemléltető számítás.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és jegyezd fel az A, B vagy C betűt. Előbb oldd meg mindhárom feladatot, utána nézd meg a megoldásokat.
1. Mennyi a (0; 0) és (3; 4) pont távolsága?
- A) 7
- B) 5
- C) 1
2. Mi a (−2; 4) és (6; 8) felezőpontja?
- A) (4; 12)
- B) (−4; −2)
- C) (2; 6)
3. A koordinátakülönbség (3; 4), az x léptéke 2 cm/egység, az y léptéke 1 cm/egység. Mennyi a távolság?
- A) 5 cm
- B) 10 cm
- C) Körülbelül 7,21 cm
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Legfeljebb 3 pont szerezhető. 3 pont: A koordinátaátlag mellett a fizikai távolság egységeit is következetesen kezelted. 2 pont: nézd át az eltévesztett kérdésnél megnevezett részt, és számold újra annak példáját. 0–1 pont: haladj végig a három megoldáson, majd oldd meg újra a kérdéseket. Ez a rövid próba a cikk összefüggéseinek megértését ellenőrzi.
1. megoldás
B) 5 – √(3² + 4²) = 5. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: A távolság két eltérésből áll össze.
2. megoldás
C) (2; 6) – A két koordinátapár átlaga 2 és 6. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Hol van a felezőpont?.
3. megoldás
C) Körülbelül 7,21 cm – A valódi eltérések 6 és 4 cm; √52 ≈ 7,21 cm. Az eltéréseket külön kell hosszúságra váltani. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Eltérő lépték a két tengelyen.