A körcikk területéhez és ívhosszához a sugár és a középponti szög szükséges. Fokban a teljes kör 360°, radiánban 2π. Ugyanazt a szöget kétféle számmal fejezheted ki, ezért a képletbe a megfelelő alakot kell behelyettesíteni.
A körcikket két sugár és a kiválasztott körív határolja. Ugyanaz a két sugár általában egy kisebb és egy nagyobb körcikket is kijelöl, ezért a rajzon azt is jelöld, melyik irányban járjuk be az ívet. A képletbe ehhez a részhez tartozó középponti szög kerül. Ha a két végpontot összekötő egyenes szakasz, a húr szerepel határként, már körszeletről beszélünk. Az alakzatot a teljes határvonal alapján azonosítsd: a helyes sugár önmagában még kevés a terület kiválasztásához.
A teljes kör megfelelő hányada
Saját szemléltető példánk sugara r = 18 cm, középponti szöge α = 72°. A körből kiválasztott rész 72/360 = 1/5. A teljes kerület 2π × 18 = 36π cm, így a körcikk ívhossza ennek ötöde: s = 7,2π cm ≈ 22,62 cm.
A teljes kör területe π × 18² = 324π cm². Ennek ötöde a körcikk: T = 64,8π cm² ≈ 203,58 cm². Az ívhossz centiméterben, a terület négyzetcentiméterben adódik. Az egység már önmagában segít észrevenni, ha felcserélted a két eredményt.
Az általános fokos képletek s = 2πr × α/360 és T = πr² × α/360. A szöghányad mindkét helyen ugyanaz, mert azonos kör ugyanakkora részét számoljuk.
Ugyanez radiánban
A radiánra váltás θ = α × π/180. A 72° tehát 72 × π/180 = 2π/5 radián, közelítőleg 1,256637 radián. Ezzel az ívhossz s = rθ, a terület T = r²θ/2.
Behelyettesítve s = 18 × 2π/5 = 7,2π cm. A terület T = 18² × (2π/5)/2 = 64,8π cm². Mindkét eredmény megegyezik a fokos számítással. A radiánmértéket, ívhosszt és körcikkterületet az OpenStax szögekről szóló fejezete vezeti le.
A radiános képletbe 72-t behelyettesítve az ívhossz 18 × 72 = 1296 cm lenne. Ez még a teljes, körülbelül 113,10 cm-es körkerületnél is jóval nagyobb. Ebben a feladatban ez egyértelmű egységcsere: 72 fokot kezeltünk 72 radiánként.
Az ívhossz és a kerület külön érték
A körcikk teljes kerületébe a két egyenes sugár is beletartozik. A példában K = 18 + 18 + 22,619467… = 58,619467… cm, kerekítve 58,62 cm.
Ha csak a hajlított szegély hosszát keresed, a 22,62 cm-es ívet használod. Ha az egész körcikk határát kell körbejárni, a két sugárral növelt 58,62 cm a megfelelő érték. A húr hossza egyiknek sem automatikus helyettesítője: a húr a végpontok közötti egyenes összeköttetés.
A 2r + s kerületképlet a 0° és 360° közötti, valódi körcikk két sugárszakaszát számolja. A teljes, 360°-os kör külön határeset: annak határán már nincs két hozzáadandó sugár. A kör kerülete ekkor egyszerűen 2πr.
Ha a határt húr zárja le, körszeletet számolj
Az eredeti 18 cm sugarú, 72°-os alakzatban kössük össze a körív végpontjait egy egyenes húrral. A kisebb körszelet területét a körcikkből a két sugár által alkotott háromszög levonásával kapod meg. A háromszög területe r² × sin α / 2, tehát a körszelet:
T = 64,8π − 18² × sin 72° / 2 ≈ 49,5040 cm².
Ez jelentősen kisebb a 203,58 cm² körüli körcikkterületnél. A húr hossza 2r × sin(α/2) = 36 × sin 36° ≈ 21,1603 cm, míg az ív körülbelül 22,6195 cm. Mindkét különbség abból következik, hogy más határvonalat választottunk.
Radiánnal a kisebb körszelet képlete r²(θ − sin θ)/2, ahol itt 0 < θ ≤ π. A θ tag és a szinusz argumentuma ugyanabban a radiános módban szerepeljen. Anyagtervnél a rajz alapján nevezd meg, melyik rész marad meg, így a helyes számot rendeled a kivágáshoz.
Területből és ívhosszból vissza a sugárhoz
Egy másik körcikk területe legyen 150 cm², a hozzá tartozó körív hossza 20 cm. Itt a sugarat és a középponti szöget keressük.
Radiánban a két alapképlet T = r²θ/2 és s = rθ. A másodikból rθ = s, ezért az első T = rs/2 alakra egyszerűsödik. Innen:
r = 2T/s = 2 × 150 / 20 = 15 cm.
A szög θ = s/r = 20/15 = 4/3 radián, fokban körülbelül 76,3944°. A körcikk kerülete a két sugárral együtt 20 + 2 × 15 = 50 cm. A kapott sugárral és szöggel az eredeti terület- és ívhosszképletbe is visszahelyettesíthetsz.
A geometria ellenőrzése itt fontos. Egy legfeljebb teljes fordulatot bejáró, egyszeres körcikknél θ nem lehet nagyobb 2π radiánnál. Mivel θ = s²/(2T), adott ívhosszhoz ebből a területi határ következik:
T ≥ s²/(4π).
A 20 cm-es ívhez az alsó határ 400/(4π) ≈ 31,831 cm². Az egyenlőség a teljes körnek felel meg. Ha ugyanehhez az ívhosszhoz csak 12 cm² területet adnál meg, a képlet r = 1,2 cm sugarat és 20/1,2 ≈ 16,6667 radián szöget adna. Ez körülbelül 954,93°, így az adatpár nem ír le egy szokásos, egyszeres körcikket.
Az osztások ilyenkor elvégezhetők, de az eredményből látszik a hibás feladatmegadás. Ellenőrizd, hogy valóban a körívet mérted-e, a terület ugyanahhoz a részhez tartozik-e, és az egységek egyeznek-e.
Beírás és ésszerű ellenőrzés
A kör- és körcikk-kalkulátor középponti szöget fokban kér. A példához a sugár módot, 18-as sugarat és 72-es szöget használd. Ha csak az átmérőt ismered, választhatod azt a bemenetet; a 36 cm-es átmérő ugyanazt a kört írja le.
Részleges körcikknél a területnek a teljes kör területe alatt kell maradnia. Rögzített sugárnál a szög kétszerezése kétszeres ívhosszt és területet ad, amíg az összehasonlítás megengedett tartományban marad. Rögzített szögnél a sugár kétszerezése viszont kétszeres ívhosszt és négyszeres területet eredményez. Egzakt feladatban őrizd meg a π-s alakot; mérési eredményként a megadott pontossághoz illően kerekíts.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. 18 cm sugarú körcikk szöge 72°. Melyik behelyettesítés adja az ívhosszt radiános képlettel?
- A) 18 × (72π/180) ≈ 22,62 cm.
- B) 18 × 72 = 1296 cm.
- C) 18² × 72/2 cm.
2. A 18 cm sugarú, 72°-os körcikk teljes határát méred. Mekkora a kerület?
- A) Körülbelül 21,16 cm, a húr.
- B) Körülbelül 22,62 cm, csak az ív.
- C) Körülbelül 58,62 cm: az ív és két sugár összege.
3. 150 cm² területű körcikk köríve 20 cm. Mennyi a sugár?
- A) 30 cm.
- B) 7,5 cm.
- C) 15 cm.
Megoldások és pontozás
1. A. Az s = rθ képlet radiánt kér. A 72° = 2π/5 radián, így 18 × 2π/5 = 7,2π cm. Ismétléshez: Ugyanez radiánban.
2. C. A részleges körcikket két sugár és a körív határolja, ezért K = 2 × 18 + 7,2π ≈ 58,62 cm. Ismétléshez: Az ívhossz és a kerület külön érték.
3. C. A két képletből T = rs/2 következik, ezért r = 2T/s = 300/20 = 15 cm. A θ = 20/15 = 4/3 radián a megengedett egyszeres körcikk-tartományba esik. Ismétléshez: Területből és ívhosszból vissza a sugárhoz.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.