Két mérési eredmény ugyanattól a kalibrációtól is függhet. Ha a kettő különbségére vagy kíváncsi, a közös hatás egy része kieshet. Az összegben ugyanaz a hatás nagyobb súlyt kaphat. Ez a kapcsolat azt is meghatározza, melyik mérési fejlesztésre érdemes pénzt fordítanod.
A következő saját, szemléltető modellben ugyanazokat a hosszúságméréseket háromféle feladathoz használjuk: különbséghez, összeghez és átlaghoz. Végig standard bizonytalanságokkal számolunk. A felbontásból és ismételt leolvasásokból készített alapmérleghez a mérési bizonytalanságról szóló bevezető cikk ad részletes előkészítést.
A közös hibaforrást külön nevezd meg
Két, azonos eljárással kapott korrigált hosszúságérték legyen 100,000 mm és 99,800 mm. A már felismert eltérések korrekcióját elvégeztük. A megmaradó bizonytalanságot három, egymástól független alapösszetevővel írjuk le:
- C: mindkét eredményben azonos előjellel, azonos nagyságban megjelenő közös nullpontkorrekció bizonytalansága; u(C) = 0,030 mm.
- E₁: az első mérés külön hozzájárulása; u(E₁) = 0,010 mm.
- E₂: a második mérés külön hozzájárulása; u(E₂) = 0,010 mm.
A C, E₁ és E₂ legjobb becslése a korrekciók után nulla. A nulla becsléshez tartozó bizonytalanság ettől még pozitív. C itt a kalibrációból megmaradó ismerethiányt képviseli; egy ismert, javítatlan műszereltérést előbb korrigálni kellene.
A két mennyiség modellje:
X₁ = 100,000 mm + C + E₁.
X₂ = 99,800 mm + C + E₂.
Mindkét eredmény standard bizonytalansága √(0,030² + 0,010²) ≈ 0,031623 mm. A két eredmény között azonban kapcsolat marad, mert ugyanaz a C szerepel bennük. A JCGM 100:2008 útmutató 5.2.4–5.2.5. pontja tárgyalja a közös műszerből vagy referenciából eredő korrelációt és a közös hatások külön bemenetként való kezelését.
A kovariancia előjele a számításban is számít
Két bemenet lineáris kombinációjánál az eredő variancia:
u²(Y) = c₁²u²(X₁) + c₂²u²(X₂) + 2c₁c₂ Cov(X₁,X₂).
A c₁ és c₂ azt mutatja meg, mennyivel változik a kimenet az adott bemenet egységnyi változására. Különbségnél +1 és −1, összegnél mindkettő +1. A NIST bizonytalanságterjedési leírásának A-3 összefüggése tartalmazza a kovarianciatagot is. Általános, nemlineáris függvénynél ez elsőrendű közelítés; a mostani lineáris modellek varianciájára pontos.
A példánkban a két mérés közös része C, ezért:
Cov(X₁,X₂) = u²(C) = 0,0009 mm².
A korrelációs együttható a kovariancia osztva a két standard bizonytalanság szorzatával. Itt ρ = 0,0009 / 0,001 = 0,9. Ezt az értéket a megadott hibaforrásmodellből vezettük le. A korreláció nem egy szabadon választható javító tényező.
Ha csak annyit tudsz, hogy két adat ugyanarról a műszerről származik, abból még nem következik ρ = 0,9 vagy teljes együttmozgás. Azonosnak kell lennie a közös hatásnak, és ismerned kell a külön hozzájárulásokat is. Két eltérő időpontú kalibráció, elmozdult nullpont vagy megváltozott mérési eljárás más kapcsolatot hozhat létre.
Különbség: a közös nullpont kiesik
A két hosszúság különbsége:
D = X₁ − X₂ = 0,200 mm + E₁ − E₂.
A C tag algebrailag kiesett. Ez minden lehetséges C értékre igaz ebben a modellben. A különbség standard bizonytalansága:
u(D) = √(0,010² + 0,010²) ≈ 0,014142 mm.
A kovarianciás alak ugyanezt adja: √(0,001 + 0,001 − 2 × 0,0009) = √0,0002 mm. A választott k = 2 lefedési tényezővel U(D) ≈ 0,028284 mm. A k értékét az eredmény mellett fel kell tüntetni; a megfelelő lefedési valószínűséghez az eloszlási feltételeket is igazolni kell.
Ha a két teljes, 0,031623 mm-es bizonytalanságot függetlenként adnád össze, u(D) ≈ 0,044721 mm jönne ki. Ez a helyes eredmény körülbelül 3,16-szorosa. Egy bizonytalansági cél teljesítését így tévesen reménytelennek ítélhetnéd.
A kiesés a különbségre vonatkozik. A két külön közölt hosszúság továbbra is tartalmazza a közös kalibráció bizonytalanságát. Ha a különbség helyett valamelyik hosszúság önálló tűrésen belüli voltát kell igazolnod, annak teljes mérlegét használd.
Összeg és átlag: a közös rész megmarad
A két hosszúság összegében C kétszer szerepel:
S = X₁ + X₂ = 199,800 mm + 2C + E₁ + E₂.
Ezért u(S) = √[(2 × 0,030)² + 0,010² + 0,010²] ≈ 0,061644 mm. A függetlenség téves feltételezése itt ugyanazt a 0,044721 mm-t adná, amely az előző feladatban túl nagy volt. Az összeghez ez túl kicsi érték.
Az átlag M = (X₁ + X₂) / 2 = 99,900 mm. Bizonytalansága:
u(M) = √[0,030² + (0,010² + 0,010²) / 4] ≈ 0,030822 mm.
A két külön hozzájárulás hatása az átlagolással csökken. A közös C együtthatója egy marad. Ha ugyanezzel a közös kalibrációval tetszőlegesen sok, megfelelően független külön leolvasási hozzájárulást átlagolnál, azok hatása csökkenhetne, de a 0,030 mm-es közös bizonytalanság továbbra is megmaradna.
Melyik fejlesztés teljesíti a célt?
Tegyük fel, hogy két, előzetesen műszakilag megvizsgálandó fejlesztési lehetőséged van. Az összegek saját szemléltető költségfeltevések, piaci ajánlatot nem jelentenek.
A kalibráció fejlesztése 300 000 Ft ráfordítással u(C)-t 0,030-ról 0,005 mm-re csökkentené. Az eljárás fejlesztése 120 000 Ft ráfordítással mindkét külön hozzájárulást 0,010-ről 0,005 mm-re csökkentené. A többi feltételt változatlannak tekintjük.
| Változat | u(C) | u(E₁) és u(E₂) | A különbség u(D) értéke | Az átlag u(M) értéke |
|---|---|---|---|---|
| Kiinduló mérés | 0,030 mm | 0,010 mm | 0,014142 mm | 0,030822 mm |
| Kalibráció fejlesztése | 0,005 mm | 0,010 mm | 0,014142 mm | 0,008660 mm |
| Eljárás fejlesztése | 0,030 mm | 0,005 mm | 0,007071 mm | 0,030208 mm |
A táblázat minden sorában az adott u(C), u(E₁) és u(E₂) értékekből számoltuk újra az eredőt. A korábbi 0,9-es korrelációt nem lehet változatlanul átvenni: a közös variancia és a két teljes bizonytalanság szorzatának aránya a fejlesztéssel módosul. Ugyanaz a közös C változó továbbra is összekapcsolja a méréseket, de az együttmozgás számszerű aránya már más lehet. A kalibrációs változatban ρ = 0,005² / (0,005² + 0,010²) = 0,2. Az eljárás fejlesztésekor ρ = 0,030² / (0,030² + 0,005²) = 36/37 ≈ 0,9730. A nagyobb korreláció ebben az utóbbi esetben a csökkenő külön bizonytalanság következménye; önmagában nem jelenti, hogy a mérés romlott.
Ha a különbségre előre megadott cél u(D) ≤ 0,010 mm, a két vizsgált lehetőség közül az eljárás fejlesztése teljesíti. A kalibráció drágább javítása ezen a kimeneten nem csökkenti a bizonytalanságot, mert C már a kiinduló modellből is kiesik.
Ha viszont az átlagra u(M) ≤ 0,015 mm szükséges, a kalibráció fejlesztése teljesíti a célt. A külön leolvasások javítása után is körülbelül 0,030208 mm maradna. Ugyanahhoz a mérőrendszerhez más eredménymennyiség más beruházási indokot ad.
A különbség célértékéből vissza is számolhatod a követelményt. Két azonos nagyságú, független külön hozzájárulásra √2 × u(E) ≤ 0,010 mm, vagyis u(E) ≤ 0,007071 mm kell. Így a fejlesztés műszaki elfogadási feltétele számszerűen rögzíthető. Az ajánlatban szereplő általános „pontosabb mérés” helyett ezt a hozzájárulást és az elérhető értéket kérd számon.
Ha a közös hatás nem azonos súllyal jelenik meg
Egy módosított mérési láncban a második eredményre ugyanaz a C csak feleakkora hatást gyakoroljon. Ez külön szemléltető feltételezés, például egy igazolt átszámítás eltérő érzékenységének modellje:
X₁ = 100,000 mm + C + E₁; X₂ = 99,800 mm + 0,5C + E₂.
Most a különbségben 0,5C marad. Standard bizonytalansága √(0,015² + 0,010² + 0,010²) ≈ 0,020616 mm. Ha kizárólag a külön hozzájárulásokat felezed, √(0,015² + 0,005² + 0,005²) ≈ 0,016583 mm adódik. A 0,010 mm-es cél így nem teljesül.
Ebben a módosított rendszerben még a külön hozzájárulások elméleti nullázásával is 0,015 mm maradna. Ez a közös összetevőből eredő alsó korlát. A célhoz a közös hatás bizonytalanságát, az érzékenységek eltérését vagy a mérési elrendezést is változtatnod kellene.
Ezért kell a beszerzés előtt a mérési összefüggést felírni. Az azonos eszköznév és a hasonló kijelzés nem bizonyítja, hogy a közös bizonytalanság teljesen kiesik.
Ha a közös kalibrációs hatás szorzótényező
A közös nullponteltolás és a közös skálahiba eltérően viselkedik. Ezt egy új, az előzőektől különálló modellben nézzük meg. Legyen G a korrigált skálatényező megmaradó, dimenzió nélküli eltérése, nulla legjobb becsléssel és u(G) = 0,001, azaz 0,1% standard bizonytalansággal. A két külön hozzájárulás maradjon egymástól és G-től független, egyenként 0,010 mm standard bizonytalansággal:
X₁ = 100,000 mm × (1 + G) + E₁.
X₂ = 99,800 mm × (1 + G) + E₂.
A különbség most D = 0,200 mm × (1 + G) + E₁ − E₂. A közös G hozzájárulása 0,200 mm × 0,001 = 0,000200 mm. Ez kicsi, de nem nulla. A teljes standard bizonytalanság √(0,000200² + 0,010² + 0,010²) ≈ 0,014144 mm. A két teljes hosszúság közös százalékos bizonytalanságát egymástól függetlenként kezelni itt is hibás lenne.
Ha viszont kizárólag a közös szorzót vizsgáljuk, és ebben az egyszerűsített részmodellben E₁ = E₂ = 0, akkor az X₁ / X₂ arányból az 1 + G tényező pontosan kiesik, amennyiben nem nulla. Az arány 100 / 99,8 ≈ 1,002004, G minden megengedett értékénél. A teljes mérés aránya az önálló E₁ és E₂ hozzájárulások miatt továbbra is bizonytalan lehet.
Az előző nullpontmodellben a különbség szüntette meg a közös eltérést; ebben a szorzásos részmodellben az arány. Ezért a kalibrációs bizonytalanság mellett azt is azonosítsd, hogy a korrekció eltolásként, szorzóként vagy más összefüggésen keresztül kerül az eredménybe. A következő kalkulátorpélda az eredeti, összeadódó C nullpontkorrekciót használja.
Így használható hozzá a DG kalkulátor
A mérési bizonytalanság kalkulátor független bemenetek elsőrendű bizonytalanságterjedését számolja. Külön kovarianciamátrixot nem kér. Az első példát mégis le tudod képezni, ha a három valóban független alapösszetevőből építed fel, és ugyanazt a közös változót használod mindkét mérésben.
A változólistában a mezők neve name, value és uncertainty. A következő számértékeket tizedesponttal add meg:
| name | value | uncertainty | A változó szerepe |
|---|---|---|---|
| a | 100 | 0.01 | Az első érték és kizárólag a külön bizonytalansága |
| b | 99.8 | 0.01 | A második érték és kizárólag a külön bizonytalansága |
| c | 0 | 0.03 | Egyetlen közös korrekció és annak bizonytalansága |
A változólista JSON-mezőjébe a teljes következő sort másolhatod:
[{"name":"a","value":100,"uncertainty":0.01},{"name":"b","value":99.8,"uncertainty":0.01},{"name":"c","value":0,"uncertainty":0.03}]
A különbség kifejezése (a+c)-(b+c), az összegé (a+c)+(b+c), az átlagé ((a+c)+(b+c))/2. A kalkulátorba szánt kifejezésekben a szokásos billentyűzetes műveleti jeleket használd. A c érzékenysége rendre 0, 2 és 1 lesz; ez közvetlenül ellenőrizhető az eredmény részleteiben.
Az a és b uncertainty mezőjébe itt a 0,01 kerül. Ha a teljes 0,031623 mm-t írnád be, majd külön c-t is hozzáadnád, a közös hatást kétszer számolnád. A c₁ és c₂ néven felvett két külön változó pedig két független forrást jelentene az eszköz számára, hiába adnál nekik azonos bizonytalanságot.
A közös forrásra bontás csak igazolt modell mellett használható. Ha a megmaradó alapösszetevők is korreláltak, vagy az összefüggés erősen nemlineáris, a kalkulátor egyszerű négyzetösszege további kiegészítést igényel.
Milyen adat támasztja alá az együttmozgást?
A kalibrációs dokumentumban keresd meg a közös referencia, korrekció és időbeli érvényesség szerepét. Páros ismételt mérésekből az együtt változó részekről is gyűjthetsz adatot, de egy változatlan kalibrációval végzett sorozat nem tárja fel automatikusan a kalibráció közös ismeretlen eltolását.
Az eltérő darabok valódi méretkülönbségét is külön kezeld a mérőrendszer hibájának együttmozgásától. Ha két oszlop azért korrelál, mert nagy és kis termékek is vannak köztük, az így kapott korrelációs együttható még nem használható a mérési bizonytalanság kovarianciájaként.
A döntéshez olyan mérleget készíts, amelyből látszik a kívánt kimenet, az egyes hibaforrások, a közös hatások együtthatói és a fejlesztés által ténylegesen módosuló tételek. A fenti két költségváltozatot is ez alapján lehet értelmesen összehasonlítani.
Módszertani források
- JCGM 100:2008, 5.2. fejezet és F.1.2. melléklet: korrelált bemenetek és közös mérési hatások kezelése.
- NIST TN 1297, A. melléklet: érzékenységi együtthatók és kovarianciát tartalmazó bizonytalanságterjedés.
A hosszúságok, a költségek és a fejlesztési célok saját szemléltető feltevések. A táblázatok ezekből levezetett eredményeket mutatnak.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. X₁ = 100 + C + E₁ és X₂ = 99,8 + C + E₂; a két külön standard bizonytalanság 0,010 mm. Mennyi a különbség standard bizonytalansága a megadott független alapforrásokkal?
- A) Pontosan nulla.
- B) Körülbelül 0,014142 mm.
- C) Körülbelül 0,044721 mm.
2. Melyik vizsgált fejlesztés éri el az átlag u(M) ≤ 0,015 mm célját?
- A) Bármennyi leolvasás az eredeti 0,030 mm közös bizonytalanság mellett.
- B) A közös kalibráció bizonytalanságának 0,005 mm-re csökkentése.
- C) Csak a két külön leolvasás bizonytalanságának 0,005 mm-re csökkentése.
3. A második mérésben C csak 0,5 súllyal szerepel. Mi a különbség bizonytalanságának alsó korlátja, ha a külön E-tagok nullára csökkenthetők, u(C) = 0,030 mm marad?
- A) Nulla.
- B) 0,015 mm.
- C) 0,030 mm.
Megoldások és pontozás
1. B. Az azonos együtthatójú C kiesik a különbségből. A megmaradt független két hozzájárulás négyzetösszegének gyöke √(0,010² + 0,010²). Ismétléshez: Különbség: a közös nullpont kiesik.
2. B. A kalibráció fejlesztésével u(M) ≈ 0,008660 mm. A külön hozzájárulások csökkentése mellett a 0,030 mm közös rész az átlagban megmarad. Ismétléshez: Melyik fejlesztés teljesíti a célt?.
3. B. A különbségben (1 − 0,5)C = 0,5C marad. Ennek standard hozzájárulása 0,5 × 0,030 = 0,015 mm. Ismétléshez: Ha a közös hatás nem azonos súllyal jelenik meg.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.