A csúcsával lefelé álló kúpban a folyadékszint emelésével az edény keresztmetszete is nő. Ezért a fél magasság csak a teljes térfogat nyolcadát jelenti. Töltési jelzések készítésekor a kívánt litermennyiséghez külön kell kiszámítanod a magasságot.
A hasonló kúpok aránya
Legyen a teljes magasság H, a felső sugár R. A h magasságig töltött kisebb kúp sugara a hasonlóság miatt r = R × h/H. A kúptérfogat V = πr²h/3. Behelyettesítve a töltési arány (h/H)³ lesz.
Példánkban H = 60 cm és R = 30 cm. A teljes térfogat 18 000π cm³, körülbelül 56,55 liter. Harminccentis töltésnél a magassági arány 0,5, a térfogati arány 0,125. A tartalom így körülbelül 7,07 liter.
Milyen magas a félig telt kúp?
Fél térfogathoz h/H = ∛0,5 ≈ 0,7937 szükséges. A példabeli edénynél ez 60 × 0,7937 ≈ 47,62 cm. Az ötvenszázalékos térfogatjelzés tehát jóval a félmagasság felett helyezkedik el.
Ez alapján saját skálát is készíthetsz egy elméleti rajzhoz: a kívánt térfogatarány köbgyökét szorozd meg a teljes magassággal. Negyed térfogathoz körülbelül 62,996% magasság tartozik. A százalékos jelzéseknél mindig tüntesd fel, hogy magasságra vagy térfogatra vonatkoznak.
A képlet alkalmazásának feltétele
A számítás teljes, egyenes körkúpra érvényes, amely csúcsával lefelé áll. Levágott csúcsú edénynél csonkakúppal kell dolgozni. Csúcsával felfelé álló teljes kúpnál előbb a felső üres kúp térfogatát számold ki annak magasságából, majd vond le a teljes edény térfogatából. Belső méreteket használj, és a tényleges edény alakját mérd fel. A kapcsolódó kalkulátorban a teljes és a kisebb kúp térfogatát külön is ellenőrizheted.
Két töltési jel közti mennyiség
A 60 cm magas, 30 cm felső sugarú példabeli edényt 30 cm-ről 40 cm-es szintig töltöd. A 30 cm-es szint térfogataránya (30/60)³ = 0,125; a 40 cm-esé (40/60)³ = 8/27. A két térfogat körülbelül 7,07 és 16,76 liter. A hozzáadott mennyiség így 9,69 liter. A tíz centiméteres szintemelkedésből önmagában nem következik rögzített litermennyiség.
Ugyanebben az edényben a 20-ról 30 cm-re emelés csak körülbelül 4,97 litert igényel. A felső tízcentis sáv nagyobb mennyiséget fogad be, mert szélesebb. A feladatban 0 ≤ h ≤ H, H > 0 és R > 0 legyen; a magasságot a belső csúcstól függőlegesen mérd. Valós, lekerekített aljú edénynél a jelzéseket a tényleges geometriához vagy ellenőrzött térfogatméréshez kell igazítani.
Kapcsolódó DG Kalkulátor megnyitása
Forrás és módszertani háttér
Módszer: a cikkben megadott összefüggésekből levezetett, saját szemléltető számítás.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és jegyezd fel az A, B vagy C betűt. Előbb oldd meg mindhárom feladatot, utána nézd meg a megoldásokat.
1. Fél magasságnál mennyi a térfogatarány?
- A) 1/2
- B) 1/4
- C) 1/8
2. Fél térfogathoz körülbelül mekkora magasság kell?
- A) 50%
- B) 25%
- C) 79,37%
3. A példabeli kúpban a 30-ról 40 cm-re emelt szinthez körülbelül mennyi folyadékot adtál?
- A) 7,07 litert
- B) 16,76 litert
- C) 9,69 litert
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Legfeljebb 3 pont szerezhető. 3 pont: A magassági arányból térfogatarányt számoltál, és megkülönböztetted a kész és a hozzáadott mennyiséget. 2 pont: nézd át az eltévesztett kérdésnél megnevezett részt, és számold újra annak példáját. 0–1 pont: haladj végig a három megoldáson, majd oldd meg újra a kérdéseket. Ez a rövid próba a cikk összefüggéseinek megértését ellenőrzi.
1. megoldás
C) 1/8 – A hasonló testek térfogataránya 0,5³ = 0,125. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: A hasonló kúpok aránya.
2. megoldás
C) 79,37% – A fél köbgyöke körülbelül 0,7937. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Milyen magas a félig telt kúp?.
3. megoldás
C) 9,69 litert – A végső és kezdeti térfogat különbsége kell: 16,76 − 7,07 ≈ 9,69 liter. A végső teljes térfogat nem azonos a hozzáadott mennyiséggel. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Két töltési jel közti mennyiség.