Egy táblázat 20 és 40 fokhoz tartalmaz értéket, neked viszont 27 fokra lenne szükséged. Ha a két pont között egyenes vonalú változást feltételezel, lineáris interpolációval számolhatsz. Az eredmény gyorsan előáll, de a művelet feltételezését is meg kell tartanod: a két adatpont önmagában nem bizonyítja a kapcsolat linearitását.
A lineáris interpoláció kalkulátor alapeszköze két külön megadott pontból számol köztes értéket, és jelzi az extrapolációt. Ugyanezen az oldalon a „Többpontos interpoláció” műhely pontpárlistát fogad, szakaszonként lineáris vagy Lagrange-módszert kínál, és megmutatja a becsült y-értéket, a tartomány besorolását és a görbét. A következő példák kitalált adatokkal mutatják be a módszert, mérőműszerre vagy valódi érzékelőre vonatkozó gyártói állítás nélkül.
A köztes helyzet arányát keresed
Jelöljük a két pontot (x₁; y₁) és (x₂; y₂) alakban. A keresett x a két ismert x-érték közötti távolság egy bizonyos részén helyezkedik el. Ezt az arányt adja a t = (x − x₁) / (x₂ − x₁) hányados.
Ha t = 0, az első pontnál vagy. Ha t = 1, a másodiknál. Ha t = 0,5, félúton. A hozzá tartozó y az első y-értékhez képest a teljes y-változás ugyanekkora részével módosul: y = y₁ + t × (y₂ − y₁).
A kettőt összeírva y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). A NIST DLMF interpolációs fejezete a lineáris és magasabb rendű interpoláció matematikai hátterét is tárgyalja. Hétköznapi használatnál a köztes arány megértése általában elég a képlet ellenőrzéséhez.
Egy szemléltető jelátalakítás végigszámolva
Képzelj el egy példabeli mérési táblázatot: 20 °C mellett 2,10 V, 40 °C mellett 2,90 V szerepel. A 27 °C-hoz tartozó, lineárisan becsült feszültséget keresed. Az x-tartomány 20 fok széles, a keresett pont 7 fokkal van az alsó érték felett.
A helyzet aránya t = 7 / 20 = 0,35. A teljes feszültségváltozás 2,90 − 2,10 = 0,80 V. Ennek 35%-a 0,28 V, így a becslés 2,10 + 0,28 = 2,38 V.
A meredekség 0,80 / 20 = 0,04 V/°C. Ez azt jelenti, hogy a felállított egyenes minden egyfokos x-növekedéshez 0,04 voltos y-növekedést rendel. A meredekség egységét a két tengely egységéből kapod; ez segít észrevenni a tévesen felcserélt adatokat.
Az alapkalkulátorba az első pont x-értékének 20-at, y-értékének 2,10-et, a második pont koordinátáinak 40-et és 2,90-et adj meg. A keresett x legyen 27. Az eredmény 2,38, amely a példában voltot jelent. A többpontos műhelyben ugyanez a feladat a [[20, 2.1], [40, 2.9]] pontpárlistával, a „Szakaszonként lineáris” módszerrel és a 27-es x-szel számolható. A listában tizedespontot használj; minden pár első száma x, a második y. Az egységeket a saját feljegyzésedben is tartsd meg.
Három gyors ellenőrzés
Először helyettesítsd vissza a két végpontot. x = 20-nál 2,10, x = 40-nél 2,90 adódik. Ha a számítás nem adja vissza a bemeneti pontokat, elírás vagy rossz képlet szerepel benne.
Másodszor nézd meg a középpontot. x = 30 a két x átlaga, ezért az egyenes y-értéke a két y átlaga: (2,10 + 2,90) / 2 = 2,50. Ez a középponti ellenőrzés csökkenő egyenesnél is működik.
Harmadszor vizsgáld a sorrendet. A 27 az alsó x-értékhez van közelebb, ezért a 2,38 is az alsó y-értékhez kerül közelebb. A 2,10 és 2,90 közötti, növekvő lineáris szakaszon a becsült köztes értéknek e két szám közé kell esnie.
Visszafelé is számolhatsz, megfelelő feltételekkel
Ha 2,50 V-hoz keresed a példabeli hőmérsékletet, felcserélheted a két tengelyt. A pontok ekkor (2,10; 20) és (2,90; 40), a keresett bemenet 2,50. A feszültségkülönbség fele 0,40 V, ezért a becsült hőmérséklet a 20 és 40 közötti félút, vagyis 30 °C.
Az eredeti két y-érték ilyenkor legyen különböző. Vízszintes szakasznál ugyanahhoz az y-hoz sok x tartozhat, ezért az inverz számítás nem ad egyedi választ. Nem monoton, több mérési pontból álló görbén egy keresett y több helyen is előfordulhat; ilyenkor a megfelelő tartományt előbb ki kell választanod.
Az x-koordináták azonossága az eredeti számításban is problémát okoz. Az x₂ − x₁ nevező nullává válna. Ha két ismételt mérés ugyanahhoz az x-hez eltérő y-t ad, először az ismétlések értékelésével foglalkozz, majd másik, eltérő x-értékű ponttal állíts fel köztes becslést.
Extrapoláció: amikor az ismert tartományon kívül számolsz
A 20–40 °C közötti példabeli adatokból 50 °C-ra az egyenes 3,30 V-ot adna. A képlet végrehajtható, de a keresett pont már kívül esik az ismert tartományon. Ezt nevezzük extrapolációnak.
Az egyenes meghosszabbítása nem ad új mérést. A valódi folyamat telítődhet, görbülhet vagy más működési tartományba léphet. A NIST mérési tartományon kívüli modellhasználatról szóló útmutatója az interpoláció és extrapoláció kockázatát egyaránt megemlíti. A tartományon belüli becslés is tévedhet, a kívülre történő kiterjesztéshez pedig különösen erős szakmai indok szükséges.
Ha a számítás fizikai korlátot sért, például negatív darabszámot vagy a készülék tartományán kívüli kimenetet ad, állj meg a modell ellenőrzésénél. Egy pontosan kiszámolt hányados sem teszi érvényessé a helytelen feltevést.
Két pont tökéletes illeszkedése nem igazolja a linearitást
Nézzünk tisztán matematikai ellenpéldát: a valódi függvény legyen y = x². Az x = 10 ponthoz 100, az x = 20 ponthoz 400 tartozik. A két pont közötti lineáris becslés x = 15-nél 250. A függvény tényleges értéke viszont 225.
A különbség 25, a tényleges értékhez viszonyított eltérés körülbelül 11,11%. A két végpont mindkét összefüggésen pontosan rajta van. Egy harmadik, köztes mérés már képes megmutatni a különbséget. A grafikus számológépben az y = x² és a két ponton átmenő y = 30x − 200 függvényt egymás mellett vizsgálhatod.
Sűrűbb táblázatnál a keresett x-et közrefogó, szomszédos pontokkal számolj, ha a helyi lineáris közelítés szakmailag indokolt. Az egymástól nagyon távoli végpontok közé húzott egyenes elrejtheti a köztes görbületet.
Mit változtat egy harmadik pont?
Az x² ellenpéldában vegyük fel a köztes (15; 225) pontot is. A „Többpontos interpoláció” műhely listájába most [[10, 100], [15, 225], [20, 400]] kerül. A keresett x legyen 17.
Szakaszonként lineáris módban a 17-et közrefogó 15 és 20 közötti részt használjuk. A meredekség (400 − 225) / (20 − 15) = 35, ezért a becslés 225 + (17 − 15) × 35 = 295. A két szélső pontból, a köztes adat nélkül 100 + (17 − 10) × 30 = 310 adódna. A valódi, ebben a feladatban ismert 17² érték 289.
A harmadik ponttal a helyi lineáris becslés eltérése 21-ről 6-ra csökkent. A Lagrange-polinom módszert választva ugyanebből a három pontból 289 adódik, mert a legfeljebb másodfokú, mindhárom ponton átmenő polinom itt éppen az x².
Ez a pontos egyezés a megválasztott matematikai példából következik. Egy valódi, bizonytalan mérési sorhoz illesztett polinom a pontok között is eltérhet a folyamattól. A módszert a kapcsolat indokolt modellje alapján válaszd; a több ponton való pontos áthaladás önmagában nem bizonyít jobb fizikai becslést.
Milyen sűrű táblázat kell egy adott közelítési hibához?
Ha a valódi függvény második deriváltja folytonos, és az egész közrefogott szakaszon igazoltan |f″(x)| ≤ K, akkor a két pontos végpontból készített lineáris interpoláció eltérésére a következő korlát adható:
Legnagyobb abszolút közelítési hiba ≤ K × h²/8, ahol h a két szomszédos x-érték távolsága. A NIST interpolációs maradéktagja lineáris esetre ezt az 1/8-os szorzót adja. A h felezésével az így számított felső korlát negyedére csökken.
Az ismert x² függvénynél f″ = 2, tehát K = 2. Tízegységes pontköznél a korlát 25; ötegységesnél 6,25. Ha legfeljebb 1 egységnyi interpolációs eltérést szeretnél az egész 10–20-as tartományban, a 2h²/8 ≤ 1 feltételből h ≤ 2 következik. A 10, 12, 14, 16, 18 és 20 helyen felvett pontos függvényértékek szakaszos lineáris interpolációja ezt a célt teljesíti.
K-t két végpontból önmagában nem tudod igazolni. Valódi mérésnél a görbületi korlát külön fizikai modellből vagy kellően alátámasztott jellemzésből származhat; a bemeneti mérések bizonytalanságát a fenti tisztán közelítési hibakorlát még nem tartalmazza.
A mérési bizonytalanságot külön kezeld
A bemeneti pontok mérési bizonytalansága az interpolált értékben is megjelenik. Ehhez hozzáadódhat a lineáris modell közelítési hibája. Az interpolációs eszköz önmagában az egyenest számolja ki; a kijelzett sok tizedes nem jelent ugyanilyen mérési pontosságot.
A 27 °C-os példában az interpoláció y = 0,65 × y₁ + 0,35 × y₂ alakú. Tegyük fel, hogy az x-adatok bizonytalanságát most elhanyagoljuk, és a két feszültségadat standard bizonytalansága egyaránt 0,02 V. Ha ezek függetlenek, az eredmény standard bizonytalansága:
u(y) = √[(0,65 × 0,02)² + (0,35 × 0,02)²] ≈ 0,01476 V.
A NIST bizonytalanságterjedési leírása az érzékenységi együtthatókat és az összefüggő bemenetek kovarianciáját is kezeli. A fenti egyszerű négyzetösszeg akkor használható, ha a két bemenet közötti kovariancia nulla, vagyis korrelálatlanok. A példában feltételezett függetlenség ezt biztosítja; önmagában az, hogy két külön leolvasásról van szó, még nem. Közös eltérés esetén a kovarianciás hozzájárulást is figyelembe kell venni.
Ha viszont mindkét feszültségérték bizonytalansága kizárólag ugyanabból a közös, 0,02 V standard bizonytalanságú nullponteltolásból ered, az eltolás változatlanul továbbjut. Egy közös b eltolás hozzájárulása 0,65b + 0,35b = b, így ez a bizonytalansági összetevő 0,02 V marad. Két független bemenetként kezelve tévesen kisebb eredményt kapnál.
Egyik szám sem tartalmazza az egyenes és a valódi görbe közötti eltérést. A bemeneti mérési bizonytalanság és a közelítő modell hibája külön kérdés.
A mérési bizonytalanság kalkulátor független bemenetek elsőrendű terjedéséhez használható. Közös kalibrálásból származó, összefüggő mérési hibáknál további kezelés szükséges. A saját jegyzetben ezért a két eredeti adatpontot, a forrásukat, a mértékegységeket, a keresett értéket és a választott közelítést is őrizd meg. Ebből később ellenőrizhető, hogy az eredmény milyen tartományban és milyen feltételekkel használható.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. 20 °C-hoz 2,10 V, 40 °C-hoz 2,90 V tartozik. A lineáris modell milyen feszültséget rendel 27 °C-hoz?
- A) 2,38 V.
- B) 2,90 V.
- C) 2,50 V.
2. Az x² függvény (10; 100) és (20; 400) pontját összekötő egyenes mindkét adatot pontosan visszaadja. Mit igazol ez a köztes értékekről?
- A) A mérési bizonytalanság biztosan nulla.
- B) A teljes 10–20 szakaszon biztosan pontos a lineáris modell.
- C) A két végpont egyezését; x = 15-nél az egyenes 250, a valódi függvény 225.
3. Igazolt K = 2 másodikderivált-korlát mellett legfeljebb 1 egységnyi lineáris közelítési hibát engedsz. Mekkora lehet a szomszédos pontos pontok távolsága?
- A) Legfeljebb 4.
- B) Legfeljebb 2.
- C) Legfeljebb 8.
Megoldások és pontozás
1. A. A keresett hely az intervallum 7/20 = 35%-ánál van. A 0,80 V változás 35%-a 0,28 V, így 2,10 + 0,28 = 2,38 V. Ismétléshez: Egy szemléltető jelátalakítás végigszámolva.
2. C. Két különböző x-ű pont egyértelmű egyenest ad, de a folyamat görbületéről önmagában nem szolgáltat bizonyítékot. Az ellenpélda középen 25 egységnyi eltérést mutat. Ismétléshez: Két pont tökéletes illeszkedése nem igazolja a linearitást.
3. B. A korlát 2h²/8 ≤ 1, ebből h² ≤ 4 és a nemnegatív ponttávolságra h ≤ 2. A mérési bizonytalanság ebben a tiszta közelítési hibában még nincs benne. Ismétléshez: Milyen sűrű táblázat kell egy adott közelítési hibához?.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.