A másodfokú egyenlet megoldóképlete megadja az algebrai gyököket, de a szöveges feladat feltételei döntik el, melyik használható. Ha az ismeretlen egy oldalhossz, pozitív értékre van szükség. Más feladatban, például koordináta keresésekor, negatív megoldás is teljesen megfelelő lehet.
A helyes munkasorrend: megnevezed az ismeretlent és az egységét, felírod a kikötéseket, elkészíted az egyenletet, majd a megoldásokat az eredeti feladatban is ellenőrzöd. Így a számológép által adott két számhoz konkrét jelentés társul.
Téglalap 40 négyzetméter területtel
Saját szemléltető feladatunkban egy téglalap hosszabbik oldala 3 m-rel nagyobb a rövidebbnél, területe 40 m². Jelölje x a rövidebb oldal méterben mért számértékét. A másik oldal x + 3, a kikötés x > 0.
A területből x × (x + 3) = 40. A zárójel felbontása után x² + 3x = 40, majd nullára rendezve x² + 3x − 40 = 0. Az ax² + bx + c = 0 alakhoz tartozó együtthatók a = 1, b = 3 és c = −40.
A diszkrimináns D = b² − 4ac = 3² − 4 × 1 × (−40) = 9 + 160 = 169. Mivel D pozitív, két különböző valós gyök van. A képlet x = (−b ± √D) / (2a), így x₁ = (−3 + 13) / 2 = 5, x₂ = (−3 − 13) / 2 = −8.
A megoldóképletet és a diszkrimináns eseteit az OpenStax másodfokú egyenletekről szóló fejezete tárgyalja. Az oldalhossz értelmezése a saját feladatunkból következik.
Két gyök, egy használható téglalap
Az x = 5 teljesíti a pozitivitási feltételt. A két oldal 5 és 8 m, különbségük 3 m, szorzatuk 40 m². Minden eredeti feltételt ellenőriztünk.
Az x = −8 algebrailag ugyancsak jó gyök: (−8)² + 3 × (−8) − 40 = 64 − 24 − 40 = 0. A hozzá tartozó másik szám −5, és (−8) × (−5) is 40. A téglalap két oldalhossza azonban nem lehet −8 és −5 m, ezért ezt a gyököt a szöveges feladat megoldásából kizárjuk.
Az elutasított gyök tehát nem számítási hiba. Az egyenlet több számértéket enged meg, mint a valós helyzetre felírt kikötés. Emiatt szükséges a visszaellenőrzés az algebrai egyenletben és a feladat eredeti értelmében is.
Az előjelek a megoldás részei
A másodfokúegyenlet-kalkulátorba az 1, 3, −40 együtthatókat írd. A c mezőben a mínuszjel lényeges. Ha véletlenül +40 kerül oda, már az x² + 3x + 40 = 0 egyenletet oldod meg, amelynek diszkriminánsa 9 − 160 = −151. Ez teljesen más feladat.
Ellenőrzésként a két eredeti gyök összege 5 + (−8) = −3, szorzata 5 × (−8) = −40. Ezek megfelelnek a −b/a és c/a összefüggéseknek. Ez gyors algebrai ellenőrzés, miközben a pozitív oldalhossz feltételét továbbra is külön kell alkalmazni.
Negatív diszkriminánsnál valós gyök nincs; a kalkulátor komplex megoldást is mutathat. Egy valós hosszúságot kereső feladatban a komplex szám nem használható méretként. Ha a = 0, az egyenlet már elsőfokú vagy elfajult, ezért a másodfokú képlet 2a nevezőjével sem számolhatsz.
A pozitív gyök is sértheti a geometriát
Új feladatban egy 20 × 10 m-es téglalap belső széle mentén körben egyforma széles sávot hagyunk. A középen maradó téglalap területe 96 m² legyen. Keressük a sáv x szélességét méterben.
A belső téglalap oldalai 20 − 2x és 10 − 2x, mert mindkét irányban két szélső sáv foglal helyet. Mindkét belső oldalnak pozitívnak kell maradnia. A szűkebb méretből 10 − 2x > 0 következik, így a teljes kikötés 0 < x < 5.
A területegyenlet (20 − 2x)(10 − 2x) = 96. Felbontva 200 − 60x + 4x² = 96, rendezve és néggyel osztva:
x² − 15x + 26 = 0.
A diszkrimináns 225 − 104 = 121, a két gyök (15 − 11)/2 = 2, illetve (15 + 11)/2 = 13. Mindkettő pozitív, de csak a 2 esik az előre felírt 0 < x < 5 tartományba.
x = 2 m mellett a belső méretek 16 és 6 m, szorzatuk valóban 96 m². A 13 m-es sávval a képlet −6 és −16 méteres „oldalakat” adna. A két negatív szám szorzata szintén 96, ezért az egyenletbe való visszahelyettesítés önmagában itt nem szűri ki a hibás fizikai értelmezést.
A használható megoldást az egyenlet és a geometriai feltételek együtt választják ki. Ezt a gondolatot alkalmazhatod a kerti ágyások és utak területének elkülönítésénél is: az elvett sávok után minden megmaradó szélességnek értelmezhetőnek kell lennie.
Két pozitív gyök néha ugyanazt a téglalapot jelenti
Legyen egy másik feladatban a téglalap kerülete 26 m, területe 40 m². Ha x bármelyik oldal, a másik 13 − x, és a feltétel 0 < x < 13. Az x(13 − x) = 40 egyenlet gyökei 5 és 8. Mindkettő megengedett, de az 5 × 8 és a 8 × 5 m-es leírás az oldalak felcserélésével ugyanazt a méretű téglalapot adja. Ha x eleve a rövidebb oldal, a pontos kikötés 0 < x ≤ 6,5, így az 5 marad.
A lehetséges területet a x(13 − x) = 42,25 − (x − 6,5)² alak közvetlenül megmutatja. Ekkora kerületből legfeljebb 42,25 m² érhető el, a négyzet esetén. Ha 43 m²-et kérne a feladat, a negatív diszkrimináns itt a két geometriai adat összeegyeztethetetlenségét jelezné. Ezt érdemes felismerni, mielőtt a beírt együtthatókat számítási hiba feltételezésével átírod.
Mit írj a feladat végére?
A megoldásban szerepeljen a két algebrai gyök, a kikötés alapján történt kiválasztás és a végső méret egysége. Az első, 40 m²-es téglalapfeladatban a válasz: a rövidebb oldal 5 m, a hosszabb 8 m. A kerület ezekből 2 × (5 + 8) = 26 m.
Ha a gyök nem egész szám, az algebrai ellenőrzést a pontos gyökös alakkal vagy elegendő tizedesjeggyel végezd. Ezután a felhasználásra szánt kerekített méretből is számold vissza a területet és a többi feltételt. A kerekítés miatt a visszakapott terület eltérhet a céltól; ezt a feladat megengedett eltéréséhez kell viszonyítani. A helyes algebrai gyök és a megfelelő pontosságú kivitelezési méret így külön is ellenőrizhető. Ha megengedett eltérés nincs megadva, őrizd meg a pontos eredményt, és ne válassz önkényes tűrést.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. x² + 3x − 40 = 0 gyökei 5 és −8. Ha x egy téglalap rövidebb oldalának méterben mért értéke, melyik használható?
- A) Mindkettő, mert mindkettő gyök.
- B) Egyik sem, mert két gyök van.
- C) Csak az 5, mert az oldalhossz pozitív.
2. 20 × 10 m-es terület belső szélén x széles sáv után 96 m² maradjon. A gyökök 2 és 13. Melyik a megfelelő sávszélesség?
- A) Mindkettő, mert mindkettő pozitív.
- B) 13 m, mert nagyobb pozitív gyök.
- C) 2 m, mert 0 < x < 5 szükséges.
3. 26 m kerületű, 40 m² területű téglalapnál x(13−x) = 40 gyökei 5 és 8. Mit jelentenek, ha x tetszőleges oldal lehet?
- A) Az egyik feltétlenül hibás algebrai gyök.
- B) Ugyanannak az 5 × 8 m-es téglalapnak az oldalait, felcserélt sorrendben.
- C) Két eltérő méretű téglalapot.
Megoldások és pontozás
1. C. Az algebrai ellenőrzést mindkettő teljesíti, a szöveges feladat x > 0 kikötését csak az 5. A másik oldal ekkor 8 m. Ismétléshez: Két gyök, egy használható téglalap.
2. C. A belső oldalhosszak 20−2x és 10−2x. A 13 m-es érték mindkettőt negatívvá tenné; x = 2 mellett 16 × 6 = 96 m² marad. Ismétléshez: A pozitív gyök is sértheti a geometriát.
3. B. Mindkét gyök a 0 < x < 13 tartományban van. Az x = 5 a másik oldalhoz 8-at, az x = 8 pedig 5-öt rendel. Rövidebb oldalnak választott x esetén külön x ≤ 6,5 kikötés kell. Ismétléshez: Két pozitív gyök néha ugyanazt a téglalapot jelenti.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.