Ha egy test minden hosszméretét másfélszeresére növeled, a felszíne 2,25-szörös, a térfogata 3,375-szörös lesz. A feltétel az, hogy az alak arányai megmaradjanak: a hosszúság, szélesség és magasság ugyanazzal a számmal változzon. Egyetlen oldal megnyújtása eltérő feladat.
Ezt a különbséget makett, csomagolótest, tárgyterv vagy műszaki rajz átméretezésekor is hasznos előre végigszámolni. A „150%-os méret” általában 1,5-szeres hosszméretet jelent. A térfogat ebből külön számítandó.
Miért négyzet és köb?
Jelölje a hosszméretek közös szorzóját k. Egy téglalap területe a × b. Nagyítás után (k × a) × (k × b) = k² × a × b. Egy téglatest térfogatának három tényezőjében jelenik meg k, így a szorzó k³. Hasonló alakzatoknál ez az összefüggés általánosan is használható.
Az Oak National Academy területnagyításról és térfogatnagyításról szóló tananyagai a megfelelő négyzetes és köbös kapcsolatot tárgyalják. A következő méretek saját szemléltető példák.
Egy tömör téglatest mérete legyen 8 × 6 × 4 cm. Térfogata 8 × 6 × 4 = 192 cm³. Másfélszeres nagyítás után 12 × 9 × 6 cm-t kapsz, így az új térfogat 12 × 9 × 6 = 648 cm³. Az arány 648 / 192 = 3,375.
A felszín az eredeti testnél 2 × (8 × 6 + 8 × 4 + 6 × 4) = 208 cm². A nagyított testnél 2 × (12 × 9 + 12 × 6 + 9 × 6) = 468 cm². Ez 468 / 208 = 2,25-szörös felszín.
| Mennyiség | Szorzó | Növekedés |
|---|---|---|
| Hosszméret | 1,5 | 50% |
| Felszín | 2,25 | 125% |
| Térfogat | 3,375 | 237,5% |
A „337,5%-ra nő” és a „237,5%-kal nő” közlés ugyanazt a végső térfogatot írja le. Az első az új értéket viszonyítja az eredetihez, a második csak a hozzáadódó részt.
A rajzi léptékváltás iránya
Egy 1:50 léptékű rajzon 4 cm egy 200 cm-es valós hosszat jelent. Ha ugyanezt az objektumot 1:40 léptékben szeretnéd ábrázolni, a rajzi hossz 200 / 40 = 5 cm lesz. A szükséges nagyítás 5 / 4 = 1,25, vagyis 125%.
A két lépték nevezőjéből közvetlenül is számolhatsz: 50 / 40 = 1,25. Az új rajzon a megfelelő terület 1,25² = 1,5625-szer akkora. A tényleges tárgy méretei ettől változatlanok; kizárólag az ábrázolás lett nagyobb.
A mértékegység-átváltóval egységesítsd a centimétert, métert, négyzet- és köbegységeket. A hatványokat és a többtagú felszínképletet a grafikus számológépben is ellenőrizheted. A méretarány meghatározásához neked kell eldöntened, mely hosszméretek felelnek meg egymásnak.
Térfogatból vissza a hosszmérethez
Ha a cél mindössze 20%-kal nagyobb térfogat, a térfogatszorzó 1,20. A hosszúság szorzója ennek köbgyöke: k = 1,20^(1/3) ≈ 1,06266. Ez körülbelül 6,27%-os hosszméret-növelést jelent minden irányban. A 20%-os hossznövelés ennél jóval nagyobb térfogatot eredményezne.
Üreges tárgynál külön számold ki a fal anyagát. Szemléltetésként legyen a 8 × 6 × 4 cm-es téglatest zárt, belül üres, mind a hat oldalon 0,2 cm falvastagsággal. Éllekerekítés és belső merevítés nélkül a belső méret 7,6 × 5,6 × 3,6 cm. Az anyagtérfogat 192 − 153,216 = 38,784 cm³.
A külső méreteket másfélszeresre növelve, de a falvastagságot 0,2 cm-en tartva a belső méret 11,6 × 8,6 × 5,6 cm. Az anyagtérfogat 648 − 558,656 = 89,344 cm³, ami az eredeti körülbelül 2,3036-szerese. A külső térfogat 3,375-szörös szorzója itt túlbecsülné az anyagot. A belső és külső felület együtt nem maradt geometriailag hasonló, mert a falat nem nagyítottuk.
A befogadóképességhez a belső térfogat tartozik. Az anyagigényhez a külső és belső térfogat különbségét használod, a külső befoglaló méretek pedig azt döntik el, hogy a tárgy elfér-e a helyén. Ezek külön kérdések, ezért a külső térfogat növekedési arányát ne vidd át automatikusan a másik kettőre.
Ez a pontosan megadott héj geometriája. Nyitott fedél, merevítő, éllekerekítés vagy részleges kitöltés esetén az érintett térfogatot külön kell hozzáadnod vagy levonnod. A kapott anyagtérfogatból további adatok nélkül nem következik nyomtatási idő, teherbírás vagy gyártási költség.
A méretváltoztatás előtt írd le, hogy hosszra, felszínre, befogadóképességre vagy anyagmennyiségre keresel választ. Ezzel eldönthető, melyik arány használható, és melyikhez szükséges további geometriai adat.
Mekkora nagyítás fér el a rendelkezésre álló helyen?
Az eredeti 8 × 6 × 4 cm-es testhez most legfeljebb 11,8 × 9,4 × 6,1 cm szabad hely áll rendelkezésre. A test helyzete rögzített: a 8 cm-es oldal a 11,8 cm-es irányba kerül, és így tovább. A méretek már a rendelkezésre álló belső helyet jelentik.
Egy közös k szorzónak mindhárom feltételt teljesítenie kell:
- 8k ≤ 11,8, ezért k ≤ 1,475;
- 6k ≤ 9,4, ezért k ≤ 1,5666…;
- 4k ≤ 6,1, ezért k ≤ 1,525.
A legkisebb felső határ dönt: k = 1,475, vagyis a hosszméretek az eredeti 147,5%-ára növelhetők. A kapott test 11,8 × 8,85 × 5,9 cm. A második és harmadik irányban marad hely; az első irány korlátozza a közös nagyítást.
Térfogata 11,8 × 8,85 × 5,9 = 616,137 cm³, felszíne 208 × 1,475² = 452,53 cm². A térfogat az eredeti 192 cm³ 3,209046875-szerese. Ezt a határt a hosszméretekből kellett meghatározni, mert egy térfogatilag elegendő helyre a test egyik oldala még kilóghat.
Ha a beállítás csak egész százalékot fogad el, 147%-nál 11,76 × 8,82 × 5,88 cm adódik. A 148% első mérete már 11,84 cm, tehát túllépi a 11,8 cm-es korlátot. Itt a nagyítás szokásos, legközelebbi egészre kerekítése hibás döntést adna.
Ez a rögzített tájolás és a megadott, pontos belső méretek geometriai eredménye. Ha elfordíthatod a testet, vagy a méretekhez illesztési hézagot kell hagyni, új feltételekkel számolj. A szükséges illesztési hézagot a megadott belső méretekből a nagyítás előtt vond le. Ha külső méretből indulsz, előbb a falvastagságok alapján határozd meg a belső helyet; a már belső méretből ezt ne vond le ismét.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. Egy tömör test minden hosszméretét 1,5-szeresére nagyítod. Mennyivel nő a térfogat?
- A) 237,5%-kal; az eredeti 337,5%-ára változik.
- B) 50%-kal.
- C) 150%-kal.
2. Üreges test külső méreteit 1,5-szeresre nagyítod, a falvastagságot változatlanul hagyod. Átvihető automatikusan a 3,375-ös szorzó az anyagtérfogatra?
- A) Nem; a belső és külső test különbségét újra kell számolni.
- B) Igen, mert a falvastagság semmit sem számít.
- C) Igen, minden geometriai mennyiség köbösen változik.
3. A 8 × 6 × 4 cm-es test rögzített helyzetben legfeljebb 11,8 × 9,4 × 6,1 cm-be férjen. A nagyítás csak egész százalékkal állítható. Mi a legnagyobb megengedett beállítás?
- A) 150%.
- B) 147%.
- C) 148%.
Megoldások és pontozás
1. A. A térfogatszorzó 1,5³ = 3,375. A növekedés ebből 3,375 − 1 = 2,375, azaz 237,5%. Ismétléshez: Miért négyzet és köb?.
2. A. A fal változatlan vastagsága megszünteti a teljes héj geometriai hasonlóságát. A cikkben az anyag 38,784-ről 89,344 cm³-re nő, ami csak körülbelül 2,3036-szeres. Ismétléshez: Térfogatból vissza a hosszmérethez.
3. B. A három határ közül a 11,8/8 = 1,475 a legszigorúbb. A 147% belefér; 148%-nál az első oldal 11,84 cm, ami már túl nagy. Ismétléshez: Mekkora nagyítás fér el a rendelkezésre álló helyen?.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.