A névleges éves kamatláb és az effektív éves kamatláb évközi tőkésítésnél eltérhet. Ha a névleges éves kamat 12%, és havonta a tizenketted részét írják jóvá, a havi kamatláb 1%. A következő hónapban a korábban jóváírt kamat is kamatozik. Az év végére az összes növekedés így körülbelül 12,68%. Ez a példa állandó kamatot, teljes újrabefektetést és költségmentességet feltételez.
A három adat, amely nélkül nincs összehasonlítás
Ismerned kell a névleges éves kamatlábat, az éves tőkésítések számát és azt, hogy a jóváírt kamat bent marad-e. A rendszeres jóváírás önmagában kevés: ha a kamatot minden alkalommal kiveszed, ugyanazon a számlán nem képződik rá további kamat.
A számítás jelölései: j a névleges éves kamat tizedes alakban, m az éven belüli egyenlő kamatperiódusok száma. Egy periódus kamata j/m. A kezdőtőke egy év alatt az (1 + j/m)^m szorzóval változik, ezért az effektív éves kamat ebből egyet levonva adódik.
A képlet azt feltételezi, hogy a névleges kamat egyenlő részekre osztható az adott szerződés szerinti periódusokra. Egy konkrét ajánlatnál külön ellenőrizd a napok szerinti elszámolást és a jóváírás szabályát; ezeket a két alapadat nem írja le teljesen.
Egymillió forint tizenkét hónapja
Szemléltető kezdőtőkénk 1 000 000 Ft, a névleges éves kamat 12%, a tőkésítés havi. Az első hónap után 1 000 000 × 1,01 = 1 010 000 Ft lesz az egyenleg. A második hónap után 1 010 000 × 1,01 = 1 020 100 Ft. A második hónap 10 100 Ft-os kamata már száz forinttal több az első havinál.
Tizenkét hónap után 1 000 000 × 1,01^12 ≈ 1 126 825 Ft adódik. Az induló tőkén felüli rész körülbelül 126 825 Ft. Az effektív kamatláb 1,01^12 − 1 ≈ 0,126825, azaz 12,6825%.
Ha ugyanez a 12%-os névleges kamat csak év végén tőkésedne, az egyenleg 1 120 000 Ft lenne. A két modell különbsége körülbelül 6825 Ft. Az eltérés kizárólag a tőkésítési rendből származik; a példában nincs eltérő kockázat, adó vagy díj.
Negyedéves és havi tőkésítés
Negyedéves tőkésítésnél a perióduskamat 12%/4 = 3%. Az éves szorzó 1,03^4 = 1,12550881, tehát az effektív kamat körülbelül 12,5509%. Havi tőkésítés mellett ennél kissé nagyobb eredményt kaptunk.
A névleges és effektív kamat kalkulátorban ugyanazt a névleges százalékot különböző periódusszámokkal ellenőrizheted. A százalékos mezőbe 12 kerüljön a példához, a kézi képletben viszont 0,12-vel számolunk. A kamatláb tizedes és százalékos alakjának összekeverése százszoros hibát okozhat.
Mekkora díj fordítja meg az összehasonlítást?
Egy új, szemléltető összevetésben A változat az előző 12%-os névleges kamatot havonta tőkésíti. B változat évi egyszer 12,5%-ot ír jóvá. Mindkét modellben egymillió forint marad bent egy teljes évig. A példában minden más feltétel azonos, nincs adó vagy további pénzmozgás. Ezek kitalált számítási változatok, valós ajánlatokat nem jelentenek.
| Egy év végén | A: havi tőkésítés | B: egyszeri éves jóváírás |
|---|---|---|
| Egyenleg díj előtt | 1 126 825,03 Ft | 1 125 000,00 Ft |
| Feltételezett év végi díj | 2 000,00 Ft | 0,00 Ft |
| Díj után rendelkezésre áll | 1 124 825,03 Ft | 1 125 000,00 Ft |
A díj előtt A előnye 1825,03 Ft. A 2000 Ft-os díj levonása után viszont 174,97 Ft-tal kevesebb marad benne. A költségmentes effektív kamatláb helyesen mutatta a kamatozást, de a választást befolyásoló külön díjat még hozzá kellett számítani.
Ebben az egyéves, egymillió forintos modellben az egyensúlyi díj képlete: F = 1 000 000 × (1,01^12 − 1,125) ≈ 1825,03 Ft. Az ennél kisebb, pontosan az év végén levont díj mellett A több pénzt ad; az ennél nagyobb díj mellett B. Ha a díjat havonta vagy előre vonnák le, az időközi kamatozó egyenleg is módosulna, és ezt a határt újra kellene számolni.
Az Investor.gov díjakról szóló tájékoztatója is az összes vásárlási, eladási és fenntartási költség megismerését segíti. A fenti díjhatár saját matematikai példa; a DG kamatkalkulátorral először a díj előtti tőkésítési eredményt ellenőrizd, a kiválasztott díj időpontját és összegét külön számold el.
Ugyanaz az 1800 Ft díj az elején többe kerül
A díj időpontjához vegyünk 1800 Ft-ot. Év végi levonással az A változat 1 126 825,03 − 1800 ≈ 1 125 025,03 Ft-ot ad, tehát kissé a B változat 1 125 000 Ft-ja fölött marad. Ha viszont az 1800 Ft-ot az egymillióból már induláskor levonják, csak 998 200 Ft kezd kamatozni. Az éves végösszeg 998 200 × 1,01^12 ≈ 1 124 796,75 Ft, ami már 203,25 Ft-tal elmarad B-től.
Az induláskor levonható egyensúlyi díj ezért kisebb a korábbi, év végi 1825,03 Ft-nál: 1 000 000 − 1 125 000/1,01^12 ≈ 1619,62 Ft. Az előre levont pénz egész évi kamatát is elveszíted a modellben.
A két változatban azonos, egymillió forintos teljes induló keretet használtunk. Ha a díjat a befektetésen felül külön fizeted, az összehasonlításban ezt a további saját ráfordítást is szerepeltesd. Ajánlatok egyeztetésénél ezért a díj összege mellé a levonás időpontját és alapját is írd fel.
Mire elég az effektív kamatláb?
Az effektív éves százalék tizenkét hónap összehasonlítására szól. A fenti havi 1%-os modellben hat hónap után 1,01^6 − 1 ≈ 6,1520% a növekedés, az egymillió forintból pedig 1 061 520,15 Ft lesz a díjak előtt. Az éves 12,6825%-ot egyszerűen megfelezve más eredményt kapnál. Ez a féléves számítás is változatlan havi kamatot és teljes tőkésítést feltételez; a korábbi kivétel saját jóváírási és díjfeltételeit külön kell hozzáilleszteni.
A mutató az azonos alapon megadott kamatozási modellek összevetését segíti. A ténylegesen rendelkezésre álló pénzhez a díjakat, levonásokat és pénzmozgásokat is számításba kell venni. A puszta kamatképlet ezekből nem állít elő teljes költségmutatót.
Ha eleve 12%-os effektív éves hozamot kapsz bemenetként, annak egyenértékű havi rátája 1,12^(1/12) − 1. Ilyenkor a 12%/12 osztás más modellt jelentene. Mielőtt két ajánlatot egy táblázatba írsz, a „névleges” és „effektív” megjelölést is rögzítsd az oszlop fejlécében.
Forrás és módszer
Az évközi tőkésítés és az effektív kamat háttere: OpenStax – Equal Payments with a Financial Calculator and Excel. Az egymillió forintos példa saját matematikai levezetés, a 12% szemléltető feltételezés.
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Ez kézzel pontozható próba: minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont.
1. kérdés: Évi 12% névleges kamatot havonta tőkésítenek. Díj nélkül mekkora az effektív éves kamat?
- A) 144%.
- B) Körülbelül 12,6825%.
- C) Pontosan 12%.
2. kérdés: Az 1800 Ft-os díjat az egymillió forintos induló keretből rögtön levonják. Melyik végértéket hasonlítsd az éves egyszeri 12,5%-os alternatívához?
- A) 1 000 000 × 1,01¹² − 1800 ≈ 1 125 025,03 Ft.
- B) 1 000 000 × 1,125 − 1800 = 1 123 200 Ft.
- C) 998 200 × 1,01¹² ≈ 1 124 796,75 Ft.
3. kérdés: Már effektív éves 12%-ot adtak meg. Mi a vele egyenértékű havi hozamszorzó?
- A) 1,01.
- B) 1,12 / 12.
- C) 1,12 tizenkettedik gyöke.
Megoldások és magyarázatok
- 1. B. A havi kamat 1%, ezért az éves szorzó 1,01¹². Ebből 1-et levonva kapod az effektív éves kamatot. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: a névleges kamat havi tőkésítése.
- 2. C. Az induláskor levont díj összege egész évben kiesik a kamatozó tőkéből. A második válasz más díjidőpontot modellez. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: a díj levonásának időpontja.
- 3. C. A havi szorzót tizenkétszer összeszorozva kell 1,12-t kapnod. Az éves effektív százalék egyszerű osztása más végértéket ad. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: az effektív éves kamat havi átváltása.
Mit jelent az eredményed?
- 0 pont: kezdd az alapösszefüggéssel: a névleges kamat havi tőkésítése. Számold végig a cikk kapcsolódó példáját.
- 1 pont: a két eltévesztett kérdés magyarázatához térj vissza, és írd le a megfelelő bemeneteket.
- 2 pont: a kihagyott vagy hibás kérdés témájában ellenőrizd a viszonyítási alapot és a feltételeket, majd számolj újra.
- 3 pont: a három vizsgált összefüggést helyesen alkalmaztad. Próbáld ki saját adatokkal, és a az effektív éves kamat havi átváltása rész korlátait is jegyezd fel.