Két beruházás közül a magasabb százalékos megtérülésű változat kevesebb értéket is teremthet. Ez akkor válik döntési problémává, amikor a két projekt eltérő összeget köt le, más időpontokban fizet, és csak az egyiket indíthatod el. Az összehasonlításhoz az egész pénzáramsort és a vállalt kockázathoz választott elvárt hozamot együtt kell értékelni.
A következő saját, hipotetikus példában A belső megtérülési rátája körülbelül 27,61%, B-é 24,15%. Tízszázalékos elvárt éves hozam mellett mégis B nettó jelenértéke a nagyobb. Megkeressük azt a rátát, amelynél a rangsor megfordul, majd ugyanezt a döntést beruházási árra és harmadik évi pénzbeérkezésre is visszaszámoljuk.
Előbb rögzítsd, milyen pénzáramokat hasonlítasz össze
A és B ugyanannak az opcionális fejlesztésnek két megoldása. Azonos időpontban indulnak, mindkettőt három évig használod, és a harmadik év végén lezárul a vizsgált tevékenység. Csak egyet választhatsz; az elutasítás is lehetséges. A modellben mindkettő finanszírozható, nincs további projekt, amelyet a nagyobb induló kiadás miatt ki kellene hagynod.
A pénzáramok forintban, a megfelelő jövőbeli időpont összegével szerepelnek. Az első kiadás ma történik, a további nettó pénzmozgások az egyes évek végén. A példában nincs adó, külön forgótőke-lekötés vagy későbbi lezárási költség; a táblázatban nem szereplő maradványérték nulla. A működési bevételek és kiadások különbségét már kiszámoltuk. A finanszírozási pénzmozgásokat nem adjuk hozzá a projekthez, a tőke elvárt hozamát a diszkontráta fejezi ki.
Ezek a feltételek a példa határait adják. Saját beruházásnál a még felmerülő, döntésfüggő pénzmozgásokat kell összegyűjtened, a hozzájuk tartozó időponttal együtt. A korábban már kifizetett, vissza nem szerezhető előkészítés más helyzet, mint a választás után esedékes telepítés. Az ACCA beruházásértékelési útmutatója a jövőbeli többletpénzáramok, a forgótőkeváltozás és a finanszírozás következetes kezelését tárgyalja.
| Időpont | A pénzárama, millió Ft | B pénzárama, millió Ft | B − A, millió Ft |
|---|---|---|---|
| Ma, 0. év | −10,000 | −14,000 | −4,000 |
| 1. év vége | 7,000 | 5,000 | −2,000 |
| 2. év vége | 5,000 | 7,000 | 2,000 |
| 3. év vége | 3,000 | 10,392 | 7,392 |
B ma négymillió forinttal többet igényel. Az első év végén ráadásul kétmillióval kevesebb pénzt ad A-nál. A második és harmadik évben jelentkezik a többlete. Ezért a nagyobb beruházás kérdését a négymilliós induló különbség önmagában még nem írja le.
Nettó jelenérték: azonos időpontra hozott pénzösszegek
Az NPV, vagyis nettó jelenérték a pénzáramok mai értékének előjeles összege. Egy t év múlva esedékes CF összeg jelenértéke CF / (1 + r)^t, ahol r az adott pénzáramhoz választott éves diszkontráta tizedes alakban. A ma kifizetett beruházást teljes összegben vonod le. Ezt az eljárást vezeti le az OpenStax NPV-fejezete.
Mindkét projekthez évi 10%-os effektív elvárt hozamot feltételezünk. Ez saját modelladat, piaci kamatot vagy általános vállalati hozamelvárást nem jelent. Azonos kockázatot és következetes pénzáramalapot feltételezünk, ezért használhatjuk mindkettőhöz ugyanazt a rátát.
Millió forintban számolva:
NPV(A) = −10 + 7 / 1,10 + 5 / 1,10² + 3 / 1,10³ ≈ 2,749812.
NPV(B) = −14 + 5 / 1,10 + 7 / 1,10² + 10,392 / 1,10³ ≈ 4,138242.
A két projekt tehát a feltételezett 10%-os elvárás felett is pozitív jelenértéket ad. B előnye 1,388430 millió Ft, körülbelül 1 388 430 Ft mai értéken. Ez a választás modell szerinti értéktöbblete. A harmadik év végén befolyó pénz és a mai nettó jelenérték eltérő időpontra vonatkozik.
A 4,138242 millió Ft NPV nem a három év számviteli nyeresége, és nem is az induláskor rendelkezésre álló készpénz. A benne szereplő jövőbeli pénzeket a kiválasztott hozamelvárással már visszaszámoltuk mára. A pénzügyi fedezetet ettől még a tényleges fizetési időpontokra kell biztosítanod.
Miért az A projekt IRR-je a magasabb?
Az IRR az a diszkontráta, amelynél az adott projekt NPV-je nulla. A számításban tehát a pénzáramok ismertek, és a rátát keressük. Az OpenStax IRR-fejezete ezt a nullhelykeresést mutatja be.
A saját pénzáramsorokkal az eredmény:
| Projekt | Induló kiadás | IRR | NPV 10%-nál |
|---|---|---|---|
| A | 10 millió Ft | körülbelül 27,6066% | 2,749812 millió Ft |
| B | 14 millió Ft | körülbelül 24,1487% | 4,138242 millió Ft |
Az IRR-t úgy ellenőrizheted, hogy a pontosabb rátát visszahelyettesíted a megfelelő NPV-képletbe. A kapott értéknek a kerekítési eltérésen belül nullához kell közelítenie. A négy tizedesre kiírt százalék helyett a belső számításban több számjegyet őrzünk meg.
A kisebb induló kiadása és korábbi pénzbeérkezése itt magasabb saját megtérülési rátát eredményez. B nagyobb összegű, később jelentkező többletei 10%-kal diszkontálva összesen több mai értéket adnak. A projekt IRR-je önmagában nem rangsorolja megbízhatóan ezt a két, eltérő méretű pénzáramsort. A választáshoz azt kell megvizsgálnod, megéri-e az A-hoz képest szükséges többletvállalás.
A különbözeti pénzáram megmutatja B felárának értelmét
Vond ki minden időpontban A pénzáramát B pénzáramából. A kapott sor: −4; −2; +2; +7,392 millió Ft. A negatív első évi különbséget is őrizd meg: ez az a pénz, amelyhez A választásakor hozzájutnál, B mellett pedig még nem.
A különbözeti sor jelenértéke 10%-nál:
NPV(B − A) = −4 − 2 / 1,10 + 2 / 1,10² + 7,392 / 1,10³ ≈ 1,388430 millió Ft.
Ugyanezt kaptuk a két teljes NPV különbségeként. Az azonosság saját számításod ellenőrzésére is használható: ha az időpontok és a ráta egyeznek, a két eredménynek egyeznie kell. A páronkénti különbözeti értékelést és az azonos kockázat feltételét Aswath Damodaran egyetemi fejezete is bemutatja.
Ebből most az következik, hogy a plusz induló kiadás és az első évi elmaradó bevétel vállalása a későbbi többletekért együtt kedvező a 10%-os modellben. A kétmilliós első évi különbség kihagyása túlértékelné B-t.
Hol fordul meg a rangsor?
A különbözeti pénzáram IRR-je ebben a példában pontosan 20%. A visszaellenőrzés:
−4 − 2 / 1,20 + 2 / 1,20² + 7,392 / 1,20³ = 0.
Húsz százaléknál A és B nettó jelenértéke egyaránt 1,041667 millió Ft. A két projekt ekkor azonos értéket ad a modellben. Ez a rangsort megfordító ráta; eltér mindkét projekt saját IRR-jétől.
| Elvárt éves hozam | A NPV-je, millió Ft | B NPV-je, millió Ft | Döntés a megadott három lehetőség között |
|---|---|---|---|
| 10% | 2,749812 | 4,138242 | B nagyobb értéket ad |
| 15% | 1,840224 | 2,473740 | B nagyobb értéket ad |
| 20% | 1,041667 | 1,041667 | Jelenérték alapján azonosak |
| 25% | 0,336000 | −0,199296 | A pozitív jelenértékű |
| 30% | −0,291306 | −1,281748 | Mindkettő elutasítása a kedvezőbb |
Az utolsó sorhoz szükséges volt az a kiinduló feltétel, hogy a beruházást el is hagyhatod. Ha egy kötelező feladat két költséges megoldásáról döntenél, külön kellene megadnod a teljesítendő szolgáltatást és az elutasítás következményét.
A táblázat érzékenységvizsgálat. A tényleges elvárt hozamot a beruházás kockázata és a választott pénzáramalap alapján kell meghatároznod; a kedvelt projekt kedvéért átírt ráta nem ad új gazdasági információt.
Mekkora drágulást visel el B ajánlata?
Maradjon az eredeti 10%-os ráta, és változzon kizárólag B ma fizetendő ára. Az 1,388430 millió Ft-os NPV-előny ugyanekkora mai többletkiadást képes kiegyenlíteni. A határ:
B legnagyobb induló ára az A-val azonos NPV-hez = 14 + 1,388430 ≈ 15,388430 millió Ft.
Ha az új ajánlat 16 millió Ft, miközben a pénzáramok változatlanok, B NPV-je már csak 2,138242 millió Ft. A eredeti 2,749812 milliós NPV-je így nagyobb. A 15,388430 milliós érték tárgyalási határként csak a rögzített feltételezések mellett használható.
Ez a határ a két változat közötti választásra vonatkozik. B saját nullszaldós induló ára ennél magasabb lenne, mert A is pozitív jelenértékű lehetőség. A „még pozitív az NPV-je” feltétel ezért itt kevés B kiválasztásához.
Mennyi harmadik évi pénzt kell B-nek legalább adnia?
Most állítsuk vissza B induló árát 14 millió Ft-ra, és csak a harmadik évi pénzáramát módosítsuk. Jelölje X ezt az összeget millió forintban. Az A-val azonos nettó jelenértékhez:
−4 − 2 / 1,10 + 2 / 1,10² + (X − 3) / 1,10³ = 0.
Átrendezve:
X = 3 + (4 + 2 / 1,10 − 2 / 1,10²) × 1,10³ = 8,544 millió Ft.
A tervezett 10,392 millióhoz képest tehát 1,848 millió Ft harmadik évi csökkenés egyenlíti ki B előnyét. Ez nagyobb a mai 1,388430 milliós NPV-különbségnél, mert három évvel későbbi összeg. A két értéket az 1,10³ tényező köti össze.
A két érzékenységi határt külön-külön számoltuk. Ha az induló ár is nő és a harmadik évi pénz is csökken, a kettő együtt használja fel az előnyt. Például egymillió forint mai drágulás után már csak körülbelül 388 430 Ft jelenértékű mozgástér marad. A feltételezések együttes változását az eredeti pénzáramsorban kell átvezetni.
A DG-eszközzel egy pénzáram jelenértékét ellenőrizheted
A kamatos kamat és jelenérték kalkulátorában válaszd a Mai kezdőtőke – kamatos kamat számítást. A B harmadik évi összegéhez a célösszeg 10 392 000 Ft, az időtáv 3 év, az éves kamat/hozam 10%. A kamat értelmezése Effektív éves hozam legyen. A havi befizetést és a külön éves költséget állítsd nullára; ehhez a névértékű ellenőrzéshez az inflációmezőt is hagyd nullán.
Az így kapott szükséges mai kezdőtőke körülbelül 7 807 663 Ft. Ez B harmadik évi pénzáramának jelenértéke. A többi évi pozitív összeget saját időtávjával külön ellenőrizheted, majd az eredményeket összeadhatod és levonhatod az induló beruházást.
A kalkulátor ezen a felületen egy célösszeget és rendszeres havi befizetést kezel. A teljes, eltérő éves pénzáramsort és az IRR-t külön számításban kell értékelned. A különbözeti sor negatív tételeinek előjelét a saját táblázatban tartsd meg.
Mikor kell megváltoztatnod az összehasonlítás módszerét?
Eltérő kockázatú projektekhez eltérő diszkontráta tartozhat. Ilyenkor az egyes projektek saját, következetesen felépített jelenértékét kell összevetni; a fenti különbözeti sorra választott egyetlen közös ráta feltétele megszűnik. Eltérő élettartamnál pedig előbb tisztázd, meddig van szükség a szolgáltatásra, és a rövidebb projekt után milyen pótlás vagy lezárás várható. Az ismételt beruházás lehetőségét csak megindokolt feltételekkel építsd be.
Az IRR több előjelváltást tartalmazó pénzáramsornál több értéket is adhat. Egy külön, kétéves matematikai ellenpéldában a sor −100; +230; −132 pénzegység. Az NPV 10%-nál és 20%-nál is nulla: a késői nagy kiadás megváltoztatta a függvény alakját. Ötszázalékos rátán az NPV körülbelül −0,6803 pénzegység, pedig a ráta mindkét IRR alatt van. Tizenöt százaléknál, a két nullhely között az NPV +0,1890 pénzegység. E sorra az egyszerű „az IRR-nél kisebb ráta mellett elfogadom” szabály hibás választást adhat. A megadott diszkontrátán kiszámított NPV és a teljes pénzáramsor alapján kell értékelni a döntést.
Tizennégymilliós keretnél A és egy további projekt együtt megelőzheti B-t
Most módosítsuk az eredeti feltételt: van egy további, A-tól és B-től működésében független C projekt, miközben ma összesen 14 millió Ft költhető beruházásra. A és B továbbra is kizárja egymást. Mindegyik projekt csak teljes egészében, egyetlen alkalommal indítható, az indulást nem lehet későbbre halasztani, további forrás nincs. C egyik másik projekt pénzáramát vagy kockázatát sem változtatja meg; a közös 10%-os ráta itt is megfelelő saját modellfeltétel.
C ma 4 millió Ft-ba kerül, az első év végén 3,3 millió, a második végén 3,63 millió Ft nettó pénzt ad, más pénzmozgása nincs. Nettó jelenértéke −4 + 3,3 / 1,10 + 3,63 / 1,10² = 2 millió Ft.
| Megvalósítható választás | Mai kiadás | Összes NPV 10%-nál |
|---|---|---|
| A önmagában | 10 millió Ft | 2,749812 millió Ft |
| B önmagában | 14 millió Ft | 4,138242 millió Ft |
| C önmagában | 4 millió Ft | 2,000000 millió Ft |
| A és C együtt | 14 millió Ft | 4,749812 millió Ft |
A és C együtt ugyanannyit igényel ma, mint B, és körülbelül 611 570 Ft-tal több nettó jelenértéket ad. B és C 18 milliós induló kiadása meghaladná a keretet; A és B együtt pedig műszakilag kizárt. A mindent elutasító, nulla NPV-jű változatot ezek a pozitív megoldások meghaladják.
A döntést a megvalósítható kombinációk összevetése oldotta meg. A ráta átírása nem teremt további induló forrást, és egy későbbi pénzbeérkezés sem finanszírozza automatikusan a ma esedékes kiadást. Több projekt vagy több időpontra vonatkozó keret esetén a pénzkorlátokat és a kizárásokat külön is fel kell írni. A kombinációk vizsgálatának szükségességét a NYU projektkapcsolatokról szóló fejezetének tőkekorlátos része is tárgyalja.
A saját döntésed végén ezért a kiválasztott projekt, a használt ráta és a döntést megfordító konkrét pénzáramfeltétel együtt szerepeljen. Az eredeti, további projekt nélküli példában 10%-nál B-t választjuk; az induló ár 15,388430 millió Ft fölé emelkedése vagy a harmadik évi pénz 8,544 millió Ft alá csökkenése külön-külön már A felé fordítaná a rangsort, minden más adat változatlansága mellett.
Források és a példa határa
- OpenStax: nettó jelenérték – az időpontok szerinti diszkontálás és az előjeles összegzés.
- OpenStax: belső megtérülési ráta – az NPV nullhelyének értelmezése.
- NYU, Aswath Damodaran: projektkapcsolatok – egymást kizáró projektek, különbözeti pénzáramok és az összehasonlítás feltételei.
- ACCA: összetett beruházásértékelés – a figyelembe veendő pénzáramok és időpontok.
A két projekt, a kamatlábak, a szerződéses árhatárok és a két IRR-t adó ellenpélda saját számítási feltevések. Az eredmények a közölt pénzáramokra érvényesek, valós beruházásra vonatkozó hozamígéretet nem jelentenek.
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Ez kézzel pontozható próba: minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont.
1. kérdés: A két, egymást kizáró és finanszírozható beruházás közül 10%-os elvárt hozamnál melyik ad nagyobb nettó jelenértéket?
- A) Mindig a kisebb induló kiadású beruházás.
- B) B, körülbelül 4,138242 millió Ft NPV-vel.
- C) A, mert az IRR-je magasabb.
2. kérdés: Minden más változatlan; meddig csökkenhet B harmadik évi pénzárama, hogy 10%-nál még éppen ugyanannyit érjen, mint A?
- A) Nulláig, mert B IRR-je pozitív.
- B) 8,544 millió Ft-ig.
- C) 9,003570 millió Ft-ig, a mai előnyt közvetlenül levonva.
3. kérdés: 14 millió Ft az induló keret, és az önálló C lehetőség 4 millióba kerül, NPV-je 2 millió Ft. A és B továbbra is kizárják egymást. Melyik megengedett terv a legértékesebb?
- A) B önmagában, mert az egyedi NPV-je a legmagasabb.
- B) A + C, összesen körülbelül 4,749812 millió Ft NPV-vel.
- C) B + C, a 14 milliós keretet figyelmen kívül hagyva.
Megoldások és magyarázatok
- 1. B. B NPV-je 1,388430 millió Ft-tal nagyobb A-énál. A magasabb százalékos belső megtérülés önmagában nem rangsorolja a különböző pénzáramú lehetőségek értékteremtését. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: az NPV és az IRR eltérő rangsora.
- 2. B. A mai 1,388430 millió Ft előnyt a harmadik évre felkamatoztatva 1,848 millió Ft-ot kapsz. A 10,392 milliós pénzáram ennyivel csökkenhet a rangsor egyenlőségéig. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: a különbözeti pénzáram és a döntési küszöb.
- 3. B. A + C induló kiadása éppen 14 millió Ft, NPV-je meghaladja B 4,138242 millióját. A tőkekorlát és az új lehetőség megváltoztatja a megengedett döntéseket. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: a beruházási keret és a projektek kombinációja.
Mit jelent az eredményed?
- 0 pont: kezdd az alapösszefüggéssel: az NPV és az IRR eltérő rangsora. Számold végig a cikk kapcsolódó példáját.
- 1 pont: a két eltévesztett kérdés magyarázatához térj vissza, és írd le a megfelelő bemeneteket.
- 2 pont: a kihagyott vagy hibás kérdés témájában ellenőrizd a viszonyítási alapot és a feltételeket, majd számolj újra.
- 3 pont: a három vizsgált összefüggést helyesen alkalmaztad. Próbáld ki saját adatokkal, és a a beruházási keret és a projektek kombinációja rész korlátait is jegyezd fel.