A percentilis egy rendezett adatsorhoz vagy eloszláshoz tartozó küszöbérték. A 75. percentilis az alsó háromnegyed és a felső negyed határát írja le, de véges mintán több elfogadott számítási szabály létezik. Ugyanabból a nyolc adatból ezért két program eltérő eredményt adhat anélkül, hogy bármelyik hibásan számolna.
Először a rendezett adat és a módszer kell
Saját szemléltető adatsorunk nyolc feladat megoldási ideje percben:
3; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 21.
Az adatok már növekvő sorrendben állnak. Az elemszám n = 8, a keresett arány p = 75 / 100 = 0,75. A percentilis mértékegysége ugyanaz, mint az adatoké: ebben az esetben perc. A p arány mértékegység nélküli.
A mintapercentilisek különböző konvencióit a NIST percentilisleírása is tárgyalja. A közölt eredmény mellé írd oda, melyik szabályt alkalmaztad. Ez kis mintánál különösen sokat számít.
Küszöb kiválasztása ranghely alapján
A felfelé kerekített ranghely módszerében 0 < p ≤ 1 mellett:
r = felfelé kerekítés(n × p).
A példában n × p = 8 × 0,75 = 6, tehát a hatodik adatot választjuk. A 75. percentilis ezzel a szabállyal 12 perc. Hat megfigyelés legfeljebb 12 perces, ami 6 / 8 = 75%.
Ez a módszer tényleges megfigyelést ad eredményül. Más elemszámnál vagy ismétlődő adatoknál a küszöb alatti és feletti rész aránya nem feltétlenül pontosan 75–25%. A 0. percentilishez külön a minimumot szokás rendelni; a fenti rangképlet ott önmagában nulladik, nem létező helyet adna.
Interpoláció két szomszédos érték között
A következő számítás az elterjedt, R7-ként is jelölt lineáris konvenciót használja. Egytől számozott ranghelyekkel:
h = 1 + (n − 1) × p.
Ez megfelel a NumPy dokumentált alapértelmezett lineáris módszerének. A példában h = 1 + 7 × 0,75 = 6,25. A keresett érték a hatodik és hetedik adat között, az eltérés negyedénél van:
12 + 0,25 × (15 − 12) = 12,75 perc.
A 12 és 12,75 perc közötti különbség 0,75 perc, vagyis 45 másodperc. Egy szigorúan perchez kötött határnál ez döntést is módosíthat. Az interpolált 12,75 nem egy kilencedik mérés: a nyolc megfigyelésből választott szabály szerint képzett becslés.
| Módszer | Ranghely | 75. percentilis |
|---|---|---|
| Felfelé kerekített rang | 6 | 12 perc |
| Lineáris, R7 | 6,25 | 12,75 perc |
A medián és az átlag ellenőrzése
Ugyanazzal a lineáris szabállyal az 50. percentilis ranghelye 1 + 7 × 0,5 = 4,5. A negyedik és ötödik adat közötti félút: (8 + 10) / 2 = 9 perc. Ez a minta mediánja.
A statisztikai kalkulátorba beírhatod a nyolc számot a medián és az alapadatok ellenőrzéséhez. Az összeg 80 perc, az átlag 80 / 8 = 10 perc. Az átlag és a medián különbsége megmutatja, hogy a 21 perces megfigyelés az átlagot jobban felfelé húzza. A fent bemutatott 75. percentilist a külön leírt rangszabállyal számold tovább.
A 75. percentilis nem választ ki mindig pontosan 25%-ot
Nézzünk egy külön, sok azonos időt tartalmazó mintát: 2; 4; 6; 8; 10; 10; 10; 10 perc. A felfelé kerekített ranghely hatodik eleme 10. Az R7 helye 6,25, de a hatodik és hetedik érték egyaránt 10, ezért az interpoláció is 10 percet ad.
Ha a 75. percentilist elérő feladatokat külön vizsgálod, négy elem kerül a listába: 4 / 8 = 50%. Ha csak a küszöbnél szigorúan nagyobb értékeket választod, egy sem kerül bele. Ugyanaz a 10 perces percentilis egyik szabállyal sem jelöl ki pontosan két feladatot, azaz a nyolc elem felső 25%-át.
Előre döntsd el, hogy értékhatárt vagy rögzített darabszámot szeretnél. Értékhatárnál minden azonos, 10 perces feladat azonos elbírálást kap. Pontosan két elem kijelöléséhez további, előre rögzített kiválasztási szabály kell az egyező értékek között. Az ismétlődéseket ne módosítsd mesterséges tizedesjegyekkel, és a kimutatásban a ténylegesen kiválasztott darabszámot is közöld.
A csoportok percentiliseit ne átlagold össze
Saját példában két, egyaránt négyelemű csoport adatai 1; 2; 3; 100, illetve 4; 5; 6; 7 perc. Az R7 szerinti 75. percentilisük 27,25 és 6,25 perc. Egyszerű átlaguk 16,75 perc. Az egyesített, rendezett minta viszont 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 100, amelynek R7 szerinti 75. percentilise 6,25 perc.
Az eltérés azonos csoportméretek mellett is jelentkezik. Az átlaghoz elegendő darabszám és összeg megőrzése a percentilishez nem elég: a rangsor eloszlását kell ismerned. Több nap vagy részleg közös küszöbéhez az egyedi adatokat vagy a célhoz megfelelő pontosságú, összesíthető eloszlásleírást őrizd meg. Utóbbi esetben a kapott percentilis becslési hibáját is dokumentáld.
Mit közölj a küszöb mellé?
Ismétlődő értékeknél különbség van a szigorúan kisebb és a legfeljebb akkora megfigyelések aránya között. Ha sok adat egyenlő a küszöbbel, a percentilis alapján nem rendelhetsz minden elemhez egyedi sorszámot.
A hiányzó megfigyelést ne írd át nullára: ezzel új értéket hoznál létre és megváltoztatnád a rangsorolást. Rögzítsd az elemszámot, az egységet, a hiányzók kezelését és a használt módszert. Két időszak percentiliseit ezek egyezése után hasonlítsd össze, és csak a végső küszöbértéket kerekítsd a használathoz szükséges pontosságra.
A mintapercentilis a rögzített adatsort írja le. Attól, hogy a korábbi feladatok választott hányada egy küszöb alá esett, a következő időszak azonos aránya még nincs igazolva. Idővállaláshoz vizsgáld azt is, milyen feladatok kerültek a mintába, fennmaradnak-e a működési feltételek, és mennyire változik a küszöb új megfigyelések bevonásakor. A számítási módszer pontos megnevezése ezt a következtetési bizonytalanságot önmagában nem szünteti meg.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. A 3; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 21 adatsor 75. percentilise mennyi a cikk R7 módszerével?
- A) 12,75 perc.
- B) 15 perc.
- C) 12 perc.
2. A 2; 4; 6; 8; 10; 10; 10; 10 mintában a 75. percentilis 10. Hány elem legalább ekkora, és hány szigorúan nagyobb?
- A) Kettő legalább ekkora, kettő szigorúan nagyobb.
- B) Négy legalább ekkora, nulla szigorúan nagyobb.
- C) Hat legalább ekkora, kettő szigorúan nagyobb.
3. Két egyforma méretű csoport 75. percentilisét átlagolva biztosan megkapod az összevont minta 75. percentilisét?
- A) Igen, ha előbb egészre kerekíted a két küszöböt.
- B) Igen, mert azonos a két elemszám.
- C) Nem; az egyesített rangsort és ugyanazt a percentilisszabályt kell használni.
Megoldások és pontozás
1. A. A ranghely 1 + 7 × 0,75 = 6,25; a hatodik 12-höz a 15 − 12 különbség negyedét adjuk. Ismétléshez: Interpoláció két szomszédos érték között.
2. B. A négy ismétlődő 10 együtt 50%-ot ad. A küszöb önmagában nem választja szét az azonos értékeket. Ismétléshez: A 75. percentilis nem választ ki mindig pontosan 25%-ot.
3. C. A cikk példájában a csoportküszöbök átlaga 16,75 perc, az összevont minta R7 küszöbe 6,25 perc. Ismétléshez: A csoportok percentiliseit ne átlagold össze.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.