Részleges folyadékcserénél a tartályban maradó és a pótlással beérkező anyagot együtt kell követned. A következő lépés mindig az előző koncentrációból indul. Ha a pótló folyadékban is van a vizsgált anyagból, az ismételt csere elérhető célértékét ez is korlátozza.
Egyetlen csere anyagmérlege
Legyen a tartály 100 literes, kezdeti koncentrációja 40 mg/l. A teljes oldott anyagmennyiség 4000 mg. Harminc liter jól elkevert folyadék eltávolításával ennek 30%-a távozik, 2800 mg marad.
Ha a vizsgált anyagot nem tartalmazó folyadékkal ismét 100 literre töltjük, az új koncentráció 28 mg/l. A rövid képlet C₁ = C₀(1 − f), ahol f a kicserélt térfogatarány. Harmincszázalékos cserénél a szorzó 0,7.
Két egymás utáni lépés
A második 30%-os csere után 28 × 0,7 = 19,6 mg/l adódik. Az eredeti 40 mg/l-hez képest 49% maradt, a csökkenés 51%. A két harmincszázalékos értéket ezért nem lehet egyszerűen hatvanszázalékos koncentrációcsökkenésként összeadni.
n azonos csere után Cₙ = C₀(1 − f)ⁿ. Ha a példában 10 mg/l alá szeretnénk jutni, négy csere elég a modellben: 40 × 0,7⁴ ≈ 9,604 mg/l. Három után még 13,72 mg/l maradna.
Ha a pótló folyadékban is van anyag
Ilyenkor egy lépés C_új = (1 − f)C_régi + fC_pótlás. Állandó pótlási koncentráció és 0 < f < 1 cserearány mellett a koncentráció ismételt cserével a pótló folyadék értékéhez közelít. Nulla cserearány változatlan állapotot, teljes térfogatcsere a pótlás koncentrációját adja a keveredési modellben. A képlet közben új anyag keletkezését, lebomlását vagy felhalmozódását nem tartalmazza.
A kalkulátorban ezért a vízcsere arányát és a pótlás koncentrációját is megfelelően add meg. Akváriumnál ez anyagmérleg, önmagában nem állattartási javaslat: a hőmérséklet, a víz egyéb tulajdonságai és az élőlények igényei további szempontok.
Ha a pótlás koncentrációja 10 mg/l
Legyen továbbra is C₀ = 40 mg/l és f = 0,30, de a pótló folyadék koncentrációja most 10 mg/l. Az első lépés 0,7 × 40 + 0,3 × 10 = 31 mg/l, a második 0,7 × 31 + 3 = 24,7 mg/l. Állandó feltételekkel n lépés után Cₙ = 10 + (40 − 10) × 0,7ⁿ. A kezdeti érték és a pótlás közötti különbség csökken a 0,7-es tényezővel.
Öt csere után 15,0421 mg/l, hat után 13,52947 mg/l adódik. A szigorúan 15 mg/l alatti célhoz ezért hat csere kell a modellben. A 8 mg/l-es cél ugyanezzel a pótlással és pusztán cserével nem érhető el, mert minden új állapot a régi és a 10 mg/l-es pótlás súlyozott átlaga. Mielőtt újabb csereszámot számolsz, ellenőrizd a pótló folyadék adatát és a cél elérhetőségét. A példák közben teljes elkeveredést, állandó térfogatot és további anyagforrás hiányát feltételezik.
Kapcsolódó DG Kalkulátor megnyitása
Forrás és módszertani háttér
Módszer: a cikkben megadott összefüggésekből levezetett, saját szemléltető számítás.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és jegyezd fel az A, B vagy C betűt. Előbb oldd meg mindhárom feladatot, utána nézd meg a megoldásokat.
1. A vizsgált anyagot nem tartalmazó pótlással két 30%-os csere után az eredeti koncentráció hány százaléka marad?
- A) 40%
- B) 49%
- C) 70%
2. 40 mg/l-ről indulsz, a pótló folyadék a vizsgált anyagból 0 mg/l-t tartalmaz. Mennyi a koncentráció az első 30%-os csere után?
- A) 12 mg/l
- B) 30 mg/l
- C) 28 mg/l
3. 40 mg/l-ről indulsz, a pótlás 10 mg/l, minden csere 30%, és nincs más anyagváltozás. Elérhető-e 8 mg/l pusztán az ismételt cserével?
- A) Igen, hat csere után
- B) Igen, pontosan tíz csere után
- C) Nem, a koncentráció a 10 mg/l-es pótlási értékhez közelít
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Legfeljebb 3 pont szerezhető. 3 pont: A bent maradó és beérkező anyagból számoltál, és a célérték elérhetőségét is ellenőrizted. 2 pont: nézd át az eltévesztett kérdésnél megnevezett részt, és számold újra annak példáját. 0–1 pont: haladj végig a három megoldáson, majd oldd meg újra a kérdéseket. Ez a rövid próba a cikk összefüggéseinek megértését ellenőrzi.
1. megoldás
B) 49% – 0,7 × 0,7 = 0,49. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Két egymás utáni lépés.
2. megoldás
C) 28 mg/l – A bent maradó arány 70%. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Egyetlen csere anyagmérlege.
3. megoldás
C) Nem, a koncentráció a 10 mg/l-es pótlási értékhez közelít – Az új koncentráció a korábbi, 10 mg/l fölötti állapot és a 10 mg/l-es pótlás súlyozott átlaga. Ez minden véges lépésnél 10 mg/l fölött marad, ezért 8 mg/l-re nem csökkenhet ebben a modellben. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Ha a pótlás koncentrációja 10 mg/l.