Szobai állóhullámok: melyik mérethez milyen frekvencia tartozik?

Téglatest alakú szobában a falak közötti távolság meghatározza az ideális állóhullámok frekvenciáit. Egyetlen tengely alapmódusánál fél hullámhossz fér el a két szemközti fal között, ezért a frekvencia a hangsebesség és a kétszeres faltávolság hányadosa. Ebből kiindulva a több irányt érintő módusok is kiszámíthatók.

A geometriai modell képlete

A három belső méret legyen Lx, Ly és Lz méterben, a hangsebesség c méter/másodpercben. A sajátfrekvencia:

f = c / 2 × √[(nx / Lx)² + (ny / Ly)² + (nz / Lz)²].

Az nx, ny, nz nemnegatív egész indexek; legalább az egyik pozitív. Az eredmény hertz. A három nulla nem egy hallható szobarezonanciát ír le, ezért ezt kihagyjuk. A téglatest merev határolófelületeire vonatkozó összefüggést a MathWorks saját módusszámítási példája is alkalmazza.

Egy pozitív index tengelyirányú, más néven axiális módust jelöl. Két pozitív indexnél tangenciális, háromnál ferde módusról beszélünk. A frekvenciát minden esetben ugyanazzal a képlettel számoljuk; a megnevezés azt segít megérteni, hány irány vesz részt a mintázatban.

Szemléltető szoba 20 °C-on

Válasszunk 5 m hosszú, 4 m széles és 2,5 m magas szobát. A szobai állóhullám-kalkulátor a hőmérsékletből a c = 331 × √(1 + T / 273) közelítést használja, ahol T Celsius-fokban szerepel. A hangsebesség hőmérsékletfüggésének fizikai hátterét az OpenStax hangterjedési fejezete ismerteti.

20 °C-nál c ≈ 342,9103 m/s. A hosszirányú alapmódusban az indexek 1; 0; 0:

f = 342,9103 / (2 × 5) ≈ 34,29 Hz.

A szélességi alaphang 342,9103 / 8 ≈ 42,86 Hz, a függőleges pedig 342,9103 / 5 ≈ 68,58 Hz.

A két 68,58 Hz-es sor nem elírás. A hossz kétszerese a magasságnak, így két különböző térbeli módushoz ugyanaz a frekvencia tartozik.

A listában ezért a frekvencia mellett az indexhármast is őrizd meg. Ha a két sort egy frekvenciasorba vonod össze, jelezd, hogy ahhoz két módus tartozik. A két előfordulásból ugyanakkor nem számolható ki kétszeres hangerő: a képletben nincs megadva, melyik módust milyen erősen gerjeszti a hangforrás, és hol figyeled meg. Az egybeesés vizsgálandó geometriai tulajdonság, a tényleges kiemeléshez további mérés kell.

Egy összetett módus kiszámítása

Az 1; 1; 0 módusnál a gyök alatti összeg 1 / 25 + 1 / 16 = 0,1025. Ezért:

f = 342,9103 / 2 × √0,1025 ≈ 54,89 Hz.

A köztes hangsebességet a számolásban teljes pontossággal őrizd meg; a végeredményt itt két tizedesre kerekítjük. A sok tizedes nem jelenti azt, hogy a valódi szoba rezonanciáját század hertz pontossággal megjósoltuk.

Mit jelent az indexhatár?

Ha tengelyenként 0-tól 2-ig engedünk indexeket, 3³ − 1 = 26 módus adódik. A kalkulátorban a legnagyobb indexet tudod megadni, nem egy önálló frekvenciahatárt. A kiválasztott halmaz eredményeit rendezi, és legfeljebb a harminc legmélyebb módust mutatja táblázatban.

Ez azért számít, mert a hosszabb irány magasabb indexű módusa alacsonyabb frekvenciára eshet, mint a rövid irány egy kisebb indexű módusa. Egy adott frekvenciasáv teljes vizsgálatához az indexhatárt is megfelelően nagyra kell választanod.

Mekkora indexhatár kell egy választott frekvenciasávhoz?

Ha 150 Hz-ig szeretnéd átnézni a példabeli szoba módusait, a 0–2-es indexhatár kevés. Az 5 méteres irány harmadik módusa 102,87 Hz, a negyedik 137,16 Hz; mindkettő 150 Hz alatt van, mégis kimaradna a 2-nél lezárt számításból.

Egy tengely mentén f = nc/(2L). Ezért a választott F felső frekvenciáig szükséges legnagyobb index lefelé kerekítés(2LF/c). A leghosszabb, 5 méteres iránnyal és a teljes pontosságú 20 °C-os hangsebességgel:

lefelé kerekítés(2 × 5 × 150 / 342,9103) = 4.

A közös indexhatár 4-re állítása minden 150 Hz alatti kombinációhoz elegendő a geometriai modellben. Ha bármelyik tengely indexe ennél nagyobb, már annak egyedüli frekvenciája is 150 Hz fölé esik; a további pozitív tagok csak emelik a teljes frekvenciát.

Ez a számítási tartomány teljességét rendezi. A DG eredménytábla továbbra is legfeljebb a harminc legmélyebb módust jeleníti meg, ezért a képernyőn látható harminc sorból nem következik, hogy a teljes választott sávban csak ennyi módus van. A módusok száma és a különböző frekvenciák száma sem feltétlenül egyezik, amint a két 68,58 Hz-es sor mutatja.

Mekkora frekvenciasávot indokol a mérési pontatlanság?

A névleges 5 méteres hossz és 20 °C mellett 34,29 Hz-et kaptunk. Tegyük fel külön, hogy a használható belső hossz 4,95–5,05 m, a hőmérséklet pedig 18–22 °C között lehet. Ezek választott bemeneti tartományok, nem a szoba mérési bizonyítványának adatai.

A képletben a frekvencia a hőmérséklettel nő, a hossz növekedésével csökken. A legkisebb értéket ezért 18 °C és 5,05 m adja, a legnagyobbat 22 °C és 4,95 m:

• alsó végpont: 331 × √(1 + 18/273) / (2 × 5,05) ≈ 33,84 Hz;
• felső végpont: 331 × √(1 + 22/273) / (2 × 4,95) ≈ 34,76 Hz.

A 34,29 Hz körüli vizsgálatot így körülbelül 0,92 Hz széles tartománnyal indokolhatjuk a geometriai modellen belül. Ez határértékes érzékenységvizsgálat; nincs hozzárendelt 95%-os valószínűsége. A falveszteség, az eltérő szobaalak és a tényleges módusgerjesztés további eltérést okozhat. A hangsebesség hőmérsékleti összefüggése önmagában ezeket nem modellezi.

A frekvencia még nem hangerő

A modell ideálisan merev, téglatestet határoló falakat feltételez. A számolt frekvenciából nem derül ki a kiemelés erőssége, a lecsengés ideje vagy a legjobb hallgatási hely. A hangforrás és a hallgató helye, a falveszteség, a nyílások és a szoba alakjának eltérései mind befolyásolják a tényleges eredményt.

A saját méreteiddel készített listát használd a helyszíni mérés értelmezéséhez. Ha például 68–69 Hz környékén feltűnő viselkedést mérsz a példabeli szobában, a két egybeeső módus vizsgálata indokolt. Egy frekvenciasor alapján még ne válassz elnyelőt vagy hangfalpozíciót.

Háromkérdéses tudáspróba

Válassz kérdésenként egy választ, és írd fel az A, B vagy C betűt. A három feladat után ellenőrizd magad a magyarázatokkal.

1. Az ideális szoba hossza 5 m, magassága 2,5 m. Miért azonos a második hosszanti és az első függőleges módus frekvenciája?

• A) Minden második módus függőleges.
• B) A 2/5 és az 1/2,5 index/hossz arány azonos.
• C) Az egyenlőséghez kétszeres hangerő szükséges.

2. Tengelyenként 0, 1 vagy 2 indexet engedsz, a három nullát kizárod. Hány módus van?

• A) 27
• B) 8
• C) 26

3. A számított frekvencia 34,29 Hz. Kiderül ebből a szobában mérhető kiemelés és a legjobb hallgatási hely?

• A) Nem, ehhez a gerjesztés, veszteségek és helyszíni viselkedés is kell.
• B) Igen, a hangerő pontosan 34,29 dB.
• C) Igen, mindig a szoba közepe a legjobb hely.

Megoldások és önálló pontozás

Minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont; összesen 3 pont szerezhető. 3 pont: a vizsgált összefüggéseket helyesen alkalmaztad; következőként készíts számítást a saját bemeneteiddel. 2 pont: az eltévesztett feladatnál megnevezett részt olvasd újra, és ellenőrizd a megoldást a képlettel. 0–1 pont: kezdd a(z) Szemléltető szoba 20 °C-on résszel, majd haladj végig a három magyarázaton, és oldd meg újra a kérdéseket. A próba a cikk megértéséről ad visszajelzést.

1. megoldás

B) A 2/5 és az 1/2,5 index/hossz arány azonos. – Az axiális frekvencia nc/(2L). Azonos n/L azonos frekvenciát ad, miközben a térbeli módus különböző. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Szemléltető szoba 20 °C-on.

2. megoldás

C) 26 – 3×3×3−1=26. Azonos frekvenciájú külön indexhármasok is külön módusok. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Mit jelent az indexhatár?.

3. megoldás

A) Nem, ehhez a gerjesztés, veszteségek és helyszíni viselkedés is kell. – A frekvenciaképlet nem tartalmaz móduserősséget vagy lecsengést. A lista a mérés értelmezését segíti. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: A frekvencia még nem hangerő.