Öt feldolgozási időt mértél: 2, 3, 3, 4 és 8 percet. A számtani átlag 4 perc, a medián 3 perc. A két szám eltérése önmagában sem hibát, sem ellentmondást nem jelent. Az átlag az összes idő egyenletes elosztásának felel meg; a medián a sorba rendezett megfigyelések közepét mutatja.
Ha ezeket a mutatókat ügyintézési időre, szállításra vagy ismételt mérésekre használod, először a kérdést fogalmazd meg. Összes kapacitást tervezel, egy tipikus tapasztalatot írsz le, vagy az ingadozást vizsgálod? A statisztikai kalkulátor több mutatót együtt ad meg, hogy a választás ne egyetlen számra épüljön.
Az átlag az összeghez kapcsolódik
A példában az összes feldolgozási idő 2 + 3 + 3 + 4 + 8 = 20 perc. Öt megfigyelés van, ezért az átlag 20 / 5 = 4 perc. Ha mind az öt eset pontosan négy percig tartott volna, az összes idő akkor is húsz perc lenne.
Az átlag ezért olyan tervezési feladatokhoz kapcsolódik természetesen, ahol a mennyiségek összeadódnak. Az öt tényleges feladat munkaidejét visszakapod az átlag és a darabszám szorzatából. Új feladatokra ugyanakkor már feltételezned kell, hogy a korábbi adatok megfelelően jellemzik a következő időszakot.
Különböző méretű csoportok átlagát darabszámmal súlyozd. Tíz eset 4 perces, két eset 10 perces átlaga együtt (10 × 4 + 2 × 10) / 12 = 5 perc. A két csoportátlag egyszerű átlaga 7 perc lenne, mert az eltérő elemszámot figyelmen kívül hagyná.
A mediánhoz először rendezd az adatokat
Az öt rendezett adat középső, harmadik eleme 3. Ez a medián. Legalább a megfigyelések fele legfeljebb ekkora, és legalább a fele legalább ekkora. Ismétlődő értékeknél mindkét állítás teljesülhet úgy is, hogy több megfigyelés pontosan a mediánnal egyezik.
Páros elemszámnál a szokásos numerikus medián a két középső adat átlaga. A 2, 3, 4, 8 adatsorban ez (3 + 4) / 2 = 3,5. A medián tehát olyan érték is lehet, amelyet egyetlen alkalommal sem mértél.
A NIST helyzetmutatókról szóló összefoglalója az átlag, medián és további középértékek szerepét különíti el. A medián kevésbé érzékeny egy már eleve szélső helyzetű megfigyelés nagyságára. Ettől még a teljes eloszlás részleteit önmagában nem mutatja meg.
Mi változik, ha a nyolcperces esetből huszonnyolc perces lesz?
Módosítsuk a példát: 2, 3, 3, 4 és 28 perc. Az összeg 40, az átlag 8 perc. A medián továbbra is 3. Egyetlen adat 20 perces növekedése az ötelemű sor átlagát 20 / 5 = 4 perccel emelte meg.
A hosszú eset lehet valódi, fontos esemény: összetett ügy, leállás vagy várakozás. Törléséhez ezért konkrét indok szükséges. Elgépelést javíthatsz a forrás alapján; valós megfigyelést azért kihagyni, mert rontja az átlagot, félrevezető képet adna.
Hasznos feljegyzés lehet, hogy az összes eset átlaga 8 perc, a medián 3 perc, és az egyik eset 28 percig tartott. Így az olvasó egyszerre látja az összesített terhelést és a rendkívül hosszú megfigyelést. Ha külön üzemi állapotot azonosítasz, a két csoportot indoklással külön is elemezheted.
A szórás kiszámítása öt adaton
Az eredeti 2, 3, 3, 4, 8 sor átlaga 4. Az átlagtól vett eltérések −2, −1, −1, 0 és 4. Négyzetük 4, 1, 1, 0 és 16; az összeg 22. A teljes öt elem leíró varianciája 22 / 5 = 4,4 percnégyzet. Ennek négyzetgyöke körülbelül 2,098 perc, a populációs szórás.
A négyzetre emelés miatt az eltérések előjele nem oltja ki egymást. A négyzetgyök visszahozza az eredeti mértékegységet. A szórás ezért a percekben mért adatokhoz percekben tartozik, a variancia pedig percnégyzetben.
Ha az öt megfigyelésből egy tágabb folyamat szórását becsülöd a szokásos mintaképlettel, a variancia nevezője n − 1 = 4. Így 22 / 4 = 5,5, a mintaszórás körülbelül 2,345 perc. Az OpenStax szórást tárgyaló fejezete mindkét nevezőt és az alkalmazásuk közötti különbséget bemutatja.
Ugyanaz az átlag, eltérő ingadozás
Hasonlítsd össze a 3, 4, 4, 4, 5 és a 0, 1, 4, 7, 8 adatsort. Mindkettő átlaga 4, mediánja szintén 4. Az első populációs szórása körülbelül 0,632, a másodiké körülbelül 3,162. A középértékek tehát egyeznek, miközben az ingadozás ötszörös a szórás alapján.
Ha időpontfoglaláshoz egyenletes kiszolgálást szeretnél, ez az eltérés fontos lehet. Az átlaghoz közeli adatoknál más tartalékidőre lehet szükség, mint szélsőségesen ingadozó folyamatnál. A konkrét ütemezési döntéshez az adatok sorrendjét, a kapacitást és a hosszú esetek okát is vizsgáld.
A szórás önmagában nem teszi normálissá az eloszlást. A gyakran idézett, egy szóráson belüli körülbelül 68%-os és két szóráson belüli körülbelül 95%-os arány a normális eloszláshoz tartozik. Tetszőleges adatsorra ezeket az arányokat nem alkalmazhatod automatikusan; még normális eloszlásból vett kis mintában is lehet eltérés.
A sorrend elvesztését az átlag és a szórás nem jelzi
Két saját, időrendben rögzített feldolgozási sor legyen 1, 1, 1, 7, 7, 7 perc, illetve 1, 7, 1, 7, 1, 7 perc. Mindkettő ugyanazokat az értékeket tartalmazza, ezért átlaguk 4 perc, mediánjuk 4 perc, populációs szórásuk 3 perc. A legtöbb sorrendet figyelmen kívül hagyó leíró mutató azonos lesz.
Az első sorban a negyedik esettől a három nagyobb érték következik egymás után. E hat adatból még nem tudjuk, meddig marad fenn a magasabb szint. A második sorban minden következő érték vált a két szint között. Az egymást követő értékek abszolút különbségeinek átlaga az első sorban (0 + 0 + 6 + 0 + 0)/5 = 1,2 perc, a másodikban 6 perc. Ezek a különbségek saját kézi kiegészítő számítások; a szórás helyett más kérdésre válaszolnak.
Ha egy beállítás módosítása után keresel változást, az első sor időrendje különösen lényeges. Ha váltakozó ügytípusok okozhatják az ingadozást, a második sor csoportjelöléseit kell visszanézni. Egyik minta sem bizonyítja önmagában az okot. A rendezett értéklista mellett ezért tartsd meg az eredeti időbélyeget és a művelethez tartozó körülményeket.
Két csoport szórásának átlaga nem a teljes adatsor szórása
Tegyük fel, hogy két műszak feldolgozási idejét külön rögzítetted. Az elsőben 3, 4 és 5 perc, a másodikban 9, 10 és 11 perc szerepel. Mindkét csoport háromelemű; átlaguk 4, illetve 10 perc.
A saját csoportátlaghoz képest mindkét sor eltérései −1, 0 és 1. A négyzetösszeg 2, az n − 1 nevező szintén 2, ezért mindkét csoport mintaszórása 1 perc. Ebből azonban nem következik, hogy az összes hat megfigyelés mintaszórása is egy perc.
Az összevont átlag (3 + 4 + 5 + 9 + 10 + 11) / 6 = 7 perc. Ehhez képest az eltérések −4, −3, −2, 2, 3 és 4. Négyzetük összege 16 + 9 + 4 + 4 + 9 + 16 = 58. Az összevont mintaszórás:
s = √(58 / (6 − 1)) ≈ 3,406 perc.
Ha kizárólag ennek a hat megfigyelésnek a leíró, populációs szórását számolod, a nevező 6, így √(58 / 6) ≈ 3,109 perc. Egyik sem az 1 perces csoportszórások átlaga.
A nagyobb összevont szórás oka, hogy a műszakok középértékei is eltérnek. Az 58-as négyzetösszegből a saját csoportátlagok körüli ingadozás 2 + 2 = 4-et ad. A két csoportátlag a közös héttől három-három percre van; ez további 3 × 3² + 3 × 3² = 54-et jelent. A két rész 4 + 54 = 58.
A statisztikai kalkulátorban előbb külön add meg a két háromelemű sort, majd mind a hat adatot együtt. Ha a műszakok közötti eltérés okát keresed, őrizd meg a csoportjelölést is. Az összevont szám az összes eset ingadozását írja le, de elfedi, hogy két eltérő középértékű csoport áll mögötte. Ez a példa az eltérés jelenlétét mutatja; az okát önmagában nem állapítja meg.
Amikor csak osztályközös adatok maradtak meg
Tegyük fel, hogy az egyedi időket nem őrizted meg, csak a csoportokat: 0–10 perc között 4 eset, 10–20 között 8, 20–30 között 4. Az osztályközepek 5, 15 és 25. A középpontokkal becsült átlag (4 × 5 + 8 × 15 + 4 × 25) / 16 = 15 perc.
Az osztályközös statisztikai kalkulátor ilyen becslést készít. Az eredeti értékeket az intervallumokból nem lehet egyértelműen visszaállítani. Ha a 0–10-es csoport tagjai többnyire 9 perc közelében voltak, az 5 perces középpont lefelé módosítja az ő hozzájárulásukat.
Az osztályközös átlagról szóló útmutatóban az eredeti adatok átlagának lehetséges határait is megvizsgálhatod, és azt is, milyen további adatot érdemes megőrizned a pontos átlaghoz.
A nyitott végű, például „30 perc felett” csoportnak nincs ismert közepe. Saját, indokolt felső határ nélkül ne találj ki reprezentatív értéket. A csoporthatárok értelmezését is rögzítsd, hogy a pontosan 10 perces eset csak az egyik csoportba kerüljön.
A hiányzó adat különbözik a nullától
Ha egy feldolgozási idő nincs rögzítve, a nulla beírása lefelé húzza az átlagot és új, valótlan megfigyelést hoz létre. Jelöld külön a hiányt, és írd oda, hány értékből számoltál. A hibás egység is torzít: 120 másodpercet 120 percként felvinni eltolja az átlagot, és a szórást is megváltoztathatja. A medián közben akár változatlan maradhat, ha a kétféleképpen rögzített érték ugyanazon az oldalán helyezkedik el. Egy megnyugtatónak látszó középérték ezért nem helyettesíti a bemeneti egységek ellenőrzését.
Iskolai jegyeknél az eltérő értékelési súlyokat a jegyátlag-kalkulátor kezeli. Nyers, egyenrangú mérésekhez a leíró statisztikai mód illik. Minden eredmény mellé tartsd meg az elemszámot, a mértékegységet és az adatgyűjtés körét. Így a 4-es átlag később is értelmezhető marad, és egy új adatsorral való összehasonlításkor látod, valóban ugyanazt a jelenséget vizsgáltad-e.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. A 2, 3, 3, 4, 8 adatsorban a 8-at 28-ra cseréled. Mi lesz az átlag és a medián?
- A) Az átlag 4, a medián 3.
- B) Az átlag és a medián is 8.
- C) Az átlag 8, a medián 3.
2. A 3, 4, 5 és a 9, 10, 11 csoport mintaszórása külön-külön 1. Mennyi az egyesített hat adat mintaszórása?
- A) Körülbelül 3,406.
- B) Pontosan 1.
- C) Pontosan 2.
3. Az 1, 1, 1, 7, 7, 7 és az 1, 7, 1, 7, 1, 7 idősor azonos átlagú és szórású. Mi különbözteti meg őket a cikk példájában?
- A) A szomszédos értékek abszolút változásának átlaga: 1,2 és 6.
- B) A második adatsornak más a számtani átlaga.
- C) A közös szórás bizonyítja, hogy az időbeli működésük is azonos.
Megoldások és pontozás
1. C. Az új összeg 40, így az átlag 40/5 = 8. A rendezett öt adat középső eleme továbbra is 3. Ismétléshez: Mi változik, ha a nyolcperces esetből huszonnyolc perces lesz?.
2. A. A teljes átlag 7, a négyzetes eltérések összege 58. A mintavariancia 58/(6−1) = 11,6, ezért a mintaszórás √11,6 ≈ 3,406. Ismétléshez: Két csoport szórásának átlaga nem a teljes adatsor szórása.
3. A. A leíró átlag és szórás a sorrend átrendezésétől nem változik. Az egymást követő eltérések összege viszont 6, illetve 30, öt lépésre osztva 1,2 és 6. Ismétléshez: A sorrend elvesztését az átlag és a szórás nem jelzi.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.