Ha az eredeti mérési értékek helyett csak intervallumokat és darabszámokat kapsz, a pontos átlagot általában már nem lehet visszaállítani. Osztályközepekkel készíthetsz becslést, és a csoporthatárokból azt is megmutathatod, mennyire térhet el ettől az ismeretlen valódi átlag. Ez sokkal használhatóbb eredmény, mint egy indokolatlanul pontos tizedestört.
A gyakoriság adja a súlyt
Az osztályköz közepe az alsó és felső határ számtani átlaga. Ha a csoport közepe mᵢ, a hozzá tartozó darabszám fᵢ, akkor:
Becsült átlag = Σ(fᵢ × mᵢ) / Σfᵢ.
Az OpenStax csoportosított adatok átlagáról szóló fejezete ezt az osztályközepes becslést ismerteti. Az egyes csoportokat a gyakoriságuk súlyozza. Azonos gyakoriságok mellett a középértékek egyszerű átlaga is ugyanezt adja. Eltérő gyakoriságoknál a súlyozott képletet használd; az egyszerű átlaggal való esetleges egyezés önmagában nem igazolja a számítási módszert.
Szemléltető példa húsz feladat időtartamával
A példában három időtartam-csoportot ismerünk. Az intervallumok alsó határa beletartozik a csoportba, a felső határa a következő csoporthoz tartozik. Így egy pontosan 10 perces feladatot egyszer számolunk meg.
| Időtartam | Gyakoriság | Közép | Súlyozott összeg |
|---|---|---|---|
| 0–10 perc | 4 | 5 perc | 20 perc |
| 10–20 perc | 9 | 15 perc | 135 perc |
| 20–40 perc | 7 | 30 perc | 210 perc |
A gyakoriságok összege 4 + 9 + 7 = 20. A becsült időösszeg 20 + 135 + 210 = 365 perc. Ezt a darabszámmal osztva 365 / 20 = 18,25 perc az átlagbecslés.
A gyakorisági tábla elemzőjében a három alsó határt, felső határt és gyakoriságot add meg. A harmadik osztályköz kétszer olyan széles, mint az első kettő; ezt a 20 és 40 közötti határral pontosan rögzíteni kell. A középpontja ezért 30 perc.
A pontos átlaghoz mennyi információ hiányzik?
Ha minden megfigyelést saját csoportja alsó határára helyezünk, az összeg 4 × 0 + 9 × 10 + 7 × 20 = 230 perc. Ebből 11,5 perces alsó korlát adódik az átlagra.
A felső határokkal számolt összeg 4 × 10 + 9 × 20 + 7 × 40 = 500 perc. A hozzá tartozó átlag 25 perc. A választott, felső végén nyitott intervallumok miatt ez felső korlát: az értékek csak megközelíthetik.
A 18,25 perces becslés tehát a csoportosított adatok mellett lehetséges átlagok között van. Ez a tartomány a húsz rögzített megfigyelés átlagára vonatkozik: azt határolja, mennyi információ veszett el a csoportosítással. Az eredeti időmérés hibáját és egy nagyobb sokaság átlagának mintavételi bizonytalanságát nem tartalmazza. A középbecslés pontosságát a táblázat önmagában nem igazolja. Ha az utolsó csoport legtöbb adata 21 perc körül volt, a 30 perces középpont túl magas képviseletet ad ennek a csoportnak.
Melyik osztályközt érdemes finomítani?
Egy osztályon belül a középponttól legfeljebb az osztályszélesség fele lehet az egyedi eltérés. Ezért a középpontos átlagbecslés teljes eltérése legfeljebb Σ(fᵢ × szélességᵢ)/(2n) nagyságú lehet. Ez eloszlásfeltevés nélküli határ, a nyitott felső végpontnál felső határértékként értendő.
A példában (4 × 10 + 9 × 10 + 7 × 20)/(2 × 20) = 6,75 perc. Ez összhangban van a 18,25 perces középbecsléshez tartozó 11,5–25 perces korlátokkal. A húszperces utolsó osztályt két tízpercesre bontva és a két új gyakoriságot ténylegesen rögzítve minden osztály tíz perc széles lesz. A legnagyobb eltérés ekkor 5 perc, vagyis 1,75 perccel kisebb, függetlenül attól, hogyan oszlik meg a hét utolsó adat az új csoportok között.
Az eredeti táblázatból az új gyakoriságokat nem tudod visszaállítani. A finomabb osztályozást az adatgyűjtés előtt állítsd be, ha az átlag pontossága ezt kívánja. Pontos csoportösszegek tárolásával pedig az alábbi módon teljesen elkerülhető a középpontos becslés.
Milyen plusz adat szünteti meg az átlag becslését?
Ha te tervezed az összesítést, az osztályonkénti darabszám mellé a tényleges időösszeget is megtarthatod. Ehhez az átlag későbbi kiszámításakor nincs szükség minden egyedi időadat újbóli elővételére. Maradjon ugyanaz a húsz feladat és ugyanaz a három osztályköz; az alábbi összegek külön szemléltető mérési adatokat jelentenek.
| Osztályköz | Feladatok száma | Tényleges időösszeg | Osztályon belüli tényleges átlag |
|---|---|---|---|
| 0–10 perc, 10 nélkül | 4 | 24 perc | 6 perc |
| 10–20 perc, 20 nélkül | 9 | 126 perc | 14 perc |
| 20–40 perc, 40 nélkül | 7 | 203 perc | 29 perc |
A tényleges összeg 24 + 126 + 203 = 353 perc. A teljes adatsor átlaga így 353 / 20 = 17,65 perc. Az osztályközepekkel korábban számolt 18,25 perc ebben a konkrét változatban 0,60 perccel, azaz 36 másodperccel magasabb.
A darabszám és az összeg megőrzése tehát pontos átlagot tesz lehetővé az összegzett mérési adatokból. A mediánhoz vagy a percentilisekhez ezek az összegek továbbra sem elegendők: különböző elrendezésű adatsoroknak lehet azonos darabszáma és összege. Az adatgyűjtést ahhoz igazítsd, mely mutatót akarod később ellenőrizni.
Mit mutat az interpolált medián?
A kumulált gyakoriság 4, majd 13, végül 20. A két középső megfigyelés, a 10. és a 11. is a 10–20 perces csoportban található. A pontos mediánt ebből még nem ismerjük.
Ha a csoporton belül egyenletes eloszlást feltételező interpolációt használunk, a becslés: 10 + ((20/2 − 4) / 9) × 10 = 16,67 perc. A 4 az előző csoportok darabszáma, a 9 a medián csoportjának gyakorisága, a 10-es szorzó pedig a csoport szélessége. Ez külön modellezési feltevés; az eredeti adatokból képzett medián eltérhet.
A táblázat előkészítése
A csoportok fedjék le az adatokat átfedés és kettős besorolás nélkül. Minden határ azonos mértékegységű legyen, a gyakoriság pedig nemnegatív egész darabszám. Nulla összgyakoriságnál átlag nem képezhető.
Nyitott végű, például „40 perc fölött” csoportnak nincs magától értetődő közepe. Kitalált felső határral látszólag pontos eredményt gyártanál. Ilyenkor kérd el a nyers adatot, vagy dokumentálj külön, indokolt becslési feltételezést. Az eredményt a használt osztályközökkel együtt add tovább, hogy a következő olvasó is lássa, milyen adatokból született.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. A 0–10, 10–20 és 20–40 perces csoportok gyakorisága 4, 9 és 7. Mennyi az osztályközepes átlagbecslés?
- A) 16,67 perc.
- B) 18,25 perc.
- C) 17,65 perc.
2. A felső végükön nyitott csoportokból számolt 11,5 és 25 perces határ mit korlátoz?
- A) A teljes sokaság átlagának 95%-os konfidenciaintervallumát.
- B) A húsz megfigyelés lehetséges tényleges átlagát; 11,5 elérhető, 25 csak megközelíthető.
- C) Minden egyedi megfigyelést 11,5 és 25 perc közé szorít.
3. Az egyes csoportok tényleges időösszege 24, 126 és 203 perc. Mit lehet pontosan visszaszámítani a húsz elemre?
- A) Minden percentilist.
- B) A 17,65 perces átlagot.
- C) Mindegyik eredeti megfigyelést.
Megoldások és pontozás
1. B. Az összeg 4 × 5 + 9 × 15 + 7 × 30 = 365 perc, amit húsz megfigyeléssel osztunk. Ismétléshez: Szemléltető példa húsz feladat időtartamával.
2. B. A csoportok alsó és felső végpontjaiból adódó korlát az elvesztett csoporton belüli adatot kezeli. Mintavételi és mérési bizonytalanságot nem tartalmaz. Ismétléshez: A pontos átlaghoz mennyi információ hiányzik?.
3. B. Az összeg 353 perc, így az átlag 353/20 = 17,65 perc. Az összeg és elemszám a rangsorhoz szükséges részleteket nem állítja vissza. Ismétléshez: Milyen plusz adat szünteti meg az átlag becslését?.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.