A felhajtóerő a kiszorított folyadék súlyával egyenlő: F_f = ρgV_kiszorított. Részben bemerülő testnél a képletbe a folyadék alatti, kiszorító térfogat kerül. A teljes külső térfogat akkor szerepelhet benne, ha a test teljesen elmerült, vagy a maximális felhajtóerőt vizsgálod.
A következő nyugalmi modellekben a levegő felhajtóerejét és a testre ható egyéb külső erőket elhanyagoljuk, kivéve ahol a felfüggesztést külön megadjuk. Szabadon úszó test nyugalmi egyensúlyában ekkor a folyadék felhajtóereje megegyezik a nehézségi erővel. Ebből ρgV_merült = mg, majd V_merült = m/ρ. A g kiesik az arányból, de az erők newtonban számított értékéhez továbbra is szükséges.
Egy merev, zárt test úszása
Saját szemléltető példánk tömege 1,8 kg, teljes zárt külső térfogata 3 liter. A folyadék sűrűségét 1000 kg/m³-nek, a nehézségi gyorsulást 9,81 m/s²-nek vesszük. Ez a sűrűség vízre használható oktatási közelítés; a számításhoz most rögzített bemenet.
A 3 liter 0,003 m³. A test nehézségi ereje 1,8 × 9,81 = 17,658 N. Teljes bemerülésnél a felhajtóerő 1000 × 9,81 × 0,003 = 29,43 N lenne, tehát nagyobb a nehézségi erőnél.
A felszíni egyensúlyhoz szükséges merült térfogat 1,8/1000 = 0,0018 m³ = 1,8 liter. Ez a teljes 3 liter 60%-a. A fennmaradó 40% térfogat a folyadék szintje fölé kerül az ideális modellben.
A merült térfogattal visszaellenőrizve F_f = 1000 × 9,81 × 0,0018 = 17,658 N, pontosan a nehézségi erő. Archimédész törvényét és az úszási hányad kapcsolatát az OpenStax felhajtóerőről szóló fejezete vezeti le.
A térfogathányad nem mindig magassághányad
A 60% bemerült térfogatból általános alakú testnél nem következik, hogy a magasság 60%-a van a víz alatt. Ez például állandó vízszintes keresztmetszetű, függőleges falú hasábnál teljesül. Gömbnél vagy változó keresztmetszetű testnél a térfogat és a merülési mélység kapcsolata más.
A test átlagos sűrűsége a példában 1,8/0,003 = 600 kg/m³. A merült térfogathányad ugyanígy 600/1000 = 0,60. Üreges, zárt testnél az átlagos sűrűséghez a teljes tömeget és a folyadékot ténylegesen kiszorító külső térfogatot használd, ne csupán a fal anyagának sűrűségét.
Más folyadékban más merülés adódik
Változtassuk a feltételezett folyadéksűrűséget 800 kg/m³-re, a testet hagyjuk változatlanul. A szükséges kiszorított térfogat 1,8/800 = 0,00225 m³ = 2,25 liter, a merült hányad pedig 2,25/3 = 75%.
A kisebb sűrűségű folyadékból nagyobb térfogatot kell kiszorítani ugyanakkora felhajtóerőhöz. A 800 kg/m³ itt választott szemléltető adat, nem egy konkrét olaj mindenkori sűrűsége. Valós folyadéknál a tényleges összetételhez és hőmérséklethez tartozó adatot használd.
Tömeghatár egy választott bemerülési arányból
Tegyük fel, hogy a 3 literes zárt test legfeljebb 70%-ban merülhet el. A 70% a feladatban kijelölt számítási határ. A hozzáadott tömeg a test külső kiszorító térfogatát nem változtatja meg, és külön folyadékkiszorítást sem számolunk hozzá.
Az 1000 kg/m³-es folyadékban a legnagyobb merült térfogat 0,003 × 0,70 = 0,0021 m³. Az ehhez tartozó teljes tömeg 1000 × 0,0021 = 2,1 kg. A test induló tömege 1,8 kg, ezért a választott merülési határig 2,1 − 1,8 = 0,30 kg adható hozzá a modellben.
Ugyanehhez a 70%-hoz a 800 kg/m³-es folyadékban csak 800 × 0,0021 = 1,68 kg össztömeg tartozik. Az induló 1,8 kg ezt már 0,12 kg-mal meghaladja. A többlettömeg képletéből kapott −0,12 kg ezért azt jelzi, hogy a választott határhoz legalább ennyi tömegcsökkentés kellene. Pozitív hozzáadható tömeg ebben az állapotban nincs.
A 0,30 kg az előírt merülési arányból számított különbség. A test alakját, tömegeloszlását vagy fordulással szembeni viselkedését ez a művelet nem vizsgálta, ezért az eredményből önmagában nem lesz biztonságos hajóterhelési adat.
Mekkora test kell egy adott össztömeghez?
Másik célként az 1000 kg/m³-es folyadékban 2,4 kg össztömeget szeretnénk legfeljebb 60%-os térfogati bemerüléssel tartani. A szükséges teljes külső térfogat V ≥ m/(ρ × 0,60) = 2,4/(1000 × 0,60) = 0,004 m³, vagyis legalább 4 liter.
Ha a 3 literes és a 4 literes test alakja hasonló, minden hosszméret közös szorzója k = (4/3)^(1/3) ≈ 1,100642. Tehát körülbelül 10,064%-os egyenletes hosszméret-növelés ad 33,333%-os térfogat-növelést. Ennek általános kapcsolatát a hossz, felület és térfogat méretarányáról szóló cikk vezeti végig.
A 4 literes eredményhez a 2,4 kg teljes tömeg továbbra is feltétel. Ha a nagyobb test saját tömege is nő, azt a hozzáadott tömeggel együtt újra össze kell számolni. A geometriai nagyítás önmagában nem tartja állandón a tömeget.
Mikor nem lehetséges felszíni úszás?
Az eredeti, 1000 kg/m³-es folyadékban maradjon 3 liter a térfogat, de a tömeg legyen 3,3 kg. Az egyensúlyhoz 3,3 liter kiszorítása kellene, miközben a test legfeljebb 3 litert szorít ki.
A nehézségi erő 3,3 × 9,81 = 32,373 N, a teljes bemerüléshez tartozó felhajtóerő továbbra is 29,43 N. A különbség 2,943 N lefelé. Külső megtámasztás nélkül a test a modellben süllyed; ebből az erőből önmagában nem kapjuk meg a végső süllyedési sebességet.
Azonos átlagos test- és folyadéksűrűségnél éppen a teljes bemerülés ad semleges felhajtóerő-egyenleget. Ekkor a teljes kiszorító térfogatra szükség van, így a korábbi, részben a felszín fölé emelkedő úszási helyzet már nem következik az egyenletből. A semleges erőegyensúly a fordulással szembeni stabilitást továbbra sem vizsgálja.
Térfogatbecslés a bemerítéskor csökkenő tartóerőből
Saját elméleti mérési példában a testet nyugalomban tartó felfüggesztés ereje levegőben 32,373 N, az 1000 kg/m³ sűrűségű folyadékban, teljes bemerítéskor 2,943 N. A levegő felhajtóerejét itt elhanyagoljuk. A különbség 29,43 N, ezért a kiszorított térfogat 29,43/(1000 × 9,81) = 0,003 m³, azaz 3 liter. A tömeg 32,373/9,81 = 3,3 kg, az átlagos testsűrűség 1100 kg/m³.
A módszerhez a test teljesen merüljön a folyadékba, ne érjen az edényhez, és ne maradjon rajta kiszorítást növelő buborék. A felfüggesztés bemerülő része, a felületi hatások vagy az áramló folyadék többleterőt adhatnak; a fenti különbségképlet ezeket nem tartalmazza. Porózus vagy beázó testnél a kiszorító térfogat a mérés közben is változhat, ezért az eredmény értelmezését előre tisztázni kell.
A felhajtóerő-kalkulátor a teljes zárt külső térfogatot kéri literben. Az első példához 1,8 kg-ot és 3 litert írj be; a merült 1,8 litert az eszköz számolja ki. A modell merev, zárt testet és állandó folyadéksűrűséget feltételez. Beázást, összenyomódást, borulást és biztonságos hajóterhelést nem állapít meg, ezért az úszási hányad ilyen döntésekhez önmagában kevés.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. 1,8 kg-os, 3 literes merev zárt test úszik 1000 kg/m³ sűrűségű folyadékban, a cikk feltevéseivel. Mennyi a merült térfogat?
- A) 0,6 liter.
- B) 1,8 liter, a teljes térfogat 60%-a.
- C) 3 liter, mert a teljes testtel kell mindig számolni.
2. Ugyanezt a testet 800 kg/m³ folyadékban legfeljebb 70%-os térfogati bemerüléssel tartanád. Mennyi további tömeg adható hozzá a modellben?
- A) Semennyi; a 70%-os határhoz már 0,12 kg tömegcsökkentés kellene.
- B) 0,30 kg.
- C) 0,12 kg.
3. Teljes bemerítéskor a nyugalmi tartóerő 32,373 N-ról 2,943 N-ra csökken. ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s², egyéb hozzájárulás nincs. Mekkora a test kiszorító térfogata?
- A) 33 liter.
- B) 3 liter.
- C) 0,3 liter.
Megoldások és pontozás
1. B. Egyensúlyban ρgV = mg, ezért V = 1,8/1000 m³ = 1,8 liter. A térfogati arány 1,8/3 = 60%; ez általános alaknál nem automatikusan magassági arány. Ismétléshez: Egy merev, zárt test úszása.
2. A. A megengedett teljes tömeg 800 × 0,003 × 0,70 = 1,68 kg. A jelenlegi 1,8 kg ennél 0,12 kg-mal több. Ismétléshez: Tömeghatár egy választott bemerülési arányból.
3. B. A felhajtóerő a két tartóerő különbsége, 29,43 N. Ebből V = 29,43/(1000 × 9,81) = 0,003 m³ = 3 liter. Ismétléshez: Térfogatbecslés a bemerítéskor csökkenő tartóerőből.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.