Egy fogaskerékpár segítségével a forgás fordulatszáma és nyomatéka egymáshoz képest módosítható. A fogszámokból az áttétel számítható ki, a kimenő nyomatékhoz pedig a bemenő nyomaték és a hatásfok is szükséges. A teljesítmény ellenőrzése megmutatja, hogy a kapott fordulatszám és nyomaték összhangban van-e a feltételezett veszteséggel. Az áttétel irányát emellett a hajtó és hajtott fogszámokból külön is ellenőrizni kell.
A fogaskerék-áttétel és nyomaték kalkulátor egy külső fogazású párt vagy két, köztes tengellyel összekapcsolt fokozatot vizsgál. Az alábbi példák állandósult működésre vonatkoznak. Fogszilárdságot, csapágyazást, kenést és megengedett terhelést nem minősítenek; ezek a konkrét gép külön méretezési kérdései.
Először rögzítsd, melyik arányt nevezed áttételnek
Ebben a kalkulátorban a lassítási arány i = hajtott fogszám / hajtó fogszám. Ugyanez a bemenő fordulatszám és a kimenő fordulatszám hányadosa. Ha a hajtó kerék 20 fogú, a hajtott 60 fogú, akkor i = 60/20 = 3.
A kimenő kerék fordulatszáma így a bemenő harmada. Egy 1200 fordulat/perc bemenethez 400 fordulat/perc kimenet tartozik. Az „áttétel három” állítás csak a választott jelölés ismeretében egyértelmű, mert más leírás használhatja a fordított hányadost is.
A kerékpároknál gyakran első fogszám / hátsó fogszám szerepel, amely az egy pedálfordulatra jutó kerékfordulatot mutatja. A kerékpár-áttétel kalkulátor ezt a másik gyakorlati értelmezést alkalmazza. Amikor két eszköz eredményét nézed, a képletben szereplő irányt hasonlítsd össze, és csak utána a számot.
Egy fogaskerékpár teljes számítása
A bemenő fordulatszám legyen 1200 fordulat/perc, a bemenő nyomaték 2 N·m. A hajtó és hajtott fogszám 20 és 60. A teljes fokozat hatásfokára most szemléltető 90%-ot tételezünk fel, gyártói teljesítményígéret nélkül.
- Lassítási arány: 60 / 20 = 3.
- Kimenő fordulatszám: 1200 / 3 = 400 fordulat/perc.
- Ideális kimenő nyomaték: 2 × 3 = 6 N·m.
- A feltételezett hatásfokkal: 6 × 0,90 = 5,4 N·m.
A nyomaték a példában 2,7-szeresre nőtt, a fordulatszám harmadára csökkent. A fogaskerekek kapcsolódása a geometriai fordulatszámarányt határozza meg, ezért a 90%-os hatásfokot a modell nem a fordulatszámra alkalmazza. A veszteség a továbbadott teljesítményben és nyomatékban jelenik meg.
Egyetlen külső fogazású párnál a két kerék ellentétes irányba forog. A forgásirány megadása akkor egyértelmű, ha azonos nézeti irányból figyeled a párhuzamos tengelyeket. Más kapcsolásra, például belső fogazásra ez a szabály változatlan formában nem terjeszthető ki.
A teljesítménymérleggel az összhangot ellenőrzöd
Forgó mozgásnál a mechanikai teljesítmény a nyomaték és a szögsebesség szorzata. Fordulat/percben megadott n esetén: P = M × 2π × n / 60. Ha M egysége N·m, az eredmény wattban adódik.
A bemeneti példában 2 × 2π × 1200 / 60 ≈ 251,33 W. A kimeneten 5,4 × 2π × 400 / 60 ≈ 226,19 W. A kerekítetlen teljesítmények különbsége körülbelül 25,13 W, vagyis a bemenő teljesítmény tíz százaléka, összhangban a feltételezett 90%-os hatásfokkal.
Ez szükséges ellenőrzés, de az áttétel helyességét önmagában nem bizonyítja. Ha a rossz áttétellel osztod a fordulatot, és ugyanazzal szorzod a nyomatékot, a két hiba a teljesítmény szorzatában kiolthatja egymást. Ezért az ellenőrzési sorrend a kapcsolás és a fogszámarány, majd a fordulat–nyomaték pár teljesítménye.
Az OpenStax forgómozgási fejezete levezeti a nyomaték, szögsebesség és teljesítmény kapcsolatát. A nyomaték–fordulat–teljesítmény kalkulátorban a bemeneti és a kimeneti adatokat külön is ellenőrizheted. Ez gyorsan felfedi a perc és másodperc összekeveréséből eredő hatvanszoros hibát.
Két fokozatnál az arányok összeszorzódnak
Maradjon az első pár 20/60 fogú, a második hajtó kerék legyen 15 fogú, a második hajtott pedig 60 fogú. Az első 60 fogú és a második 15 fogú kerék ugyanazon köztes tengelyre van mereven rögzítve, tehát együtt forognak.
Az első fokozat aránya 3, a másodiké 4. Az összesített lassítás 3 × 4 = 12. 1200 fordulat/perc bemenethez így 100 fordulat/perc kimenet tartozik. Ha a teljes hajtásra ugyanazt a szemléltető 90%-os hatásfokot használjuk, a kimenő nyomaték 2 × 12 × 0,90 = 21,6 N·m.
A kimeneti teljesítmény 21,6 × 2π × 100 / 60 ≈ 226,19 W. Az egyfokozatú példához képest más lett a fordulatszám és a nyomaték, a bemenő teljesítmény és a feltételezett teljes hatásfok viszont azonos maradt. Két külső kapcsolódás két irányváltást okoz, ezért a kimeneti forgásirány a bemenetével azonos.
A fokozatonkénti hatásfokot előbb egyesítsd
Ha külön ismered a két fokozat hatásfokát, a teljes hatásfok ezek szorzata. Például 95% és 96% esetén 0,95 × 0,96 = 0,912, azaz 91,2%. A két százalék számtani átlagát erre a célra használni hibás lenne.
A kalkulátor hatásfokmezője a teljes hajtásra vonatkozik, és egyszer alkalmazza a megadott százalékot. A példabeli kétfokozatú rendszerhez ezért 91,2-t kellene beírni, ha ezt a két fokozati feltevést használod. A kimenő nyomaték ekkor 2 × 12 × 0,912 = 21,888 N·m.
Bartlett, Lawson és Goldfarb kutatása a többfokozatú hajtások összesített áttételét és hatásfokát is a fokozati értékek szorzatából építi fel. A tanulmány részletes tervezési kérdéseket vizsgál; az itt használt egyszerű példák annak csak alapösszefüggéseihez kapcsolódnak.
A terhelésből számolj vissza a szükséges bemenetre
Tegyük fel, hogy most az a feladat, hogy a kimenet 100 fordulat/perc mellett 18 N·m nyomatékot adjon. A bemeneti fordulatszám 1200 fordulat/perc, a teljes hatásfok a példában 90%. A fordulatszámok alapján a szükséges lassítás 1200 / 100 = 12.
A nyomatéki összefüggést visszafelé használva a szükséges bemenő nyomaték 18 / (12 × 0,90) ≈ 1,6667 N·m. Ha a hajtó gép az 1200 fordulat/perces munkapontban legfeljebb 2 N·m-t tud tartósan biztosítani, a modell szerinti nyomatéki igény belefér. Az alkatrészek megengedett terhelését ettől külön kell ellenőrizni.
Változtassuk a kimenő igényt 25 N·m-re, változatlan 100 fordulat/perc mellett. Ehhez 25 / (12 × 0,90) ≈ 2,3148 N·m bemenet kellene, ami meghaladja a feltételezett két N·m-es határt.
A teljesítményekből is látható az eltérés. A 25 N·m és 100 fordulat/perc együtt 25 × 2π × 100 / 60 ≈ 261,80 W kimenő teljesítményt kér. A megadott bemenetből viszont a 90%-os teljes hatásfokkal csak körülbelül 226,19 W jut a kimenetre.
Egy nagyobb lassítás önmagában ezt nem oldja meg. Tizenötszörös áttételnél a két N·m bemenetből a modell 27 N·m-t adna, de a fordulatszám 1200 / 15 = 80 fordulat/perc lenne. A nyomatéki igény teljesülne, a száz fordulat/perces követelmény nem.
Ezért a kimenő fordulatot és nyomatékot együtt ellenőrizd. Az áttétel a kettő arányát módosítja; a rendelkezésre álló mechanikai teljesítmény és a veszteség közös korlát marad. A motoradatok azonos munkaponthoz rendelését a nyomaték, fordulatszám és kW kapcsolatáról szóló cikk részletezi.
Gyorsításhoz a terhelés nyomatékán felül is szükség lehet nyomatékra
A 18 N·m-es üzemi igény az előző példában állandósult forgáshoz tartozott. Saját dinamikai kiegészítésben a kimenethez kapcsolt merev terhelés tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka legyen J = 0,10 kg·m². Rögzített tengely körüli forgásnál a gyorsításhoz szükséges többlet J × α, ahol α a szöggyorsulás rad/s²-ben; ezt az OpenStax forgásdinamikai fejezete vezeti le.
Húsz rad/s² kimeneti szöggyorsulás 0,10 × 20 = 2 N·m többletet kér. Az összes kimeneti igény így 20 N·m; 12-es áttétellel és feltételezett 90%-os hatásfokkal a bemenet 20/(12 × 0,90) ≈ 1,8519 N·m. Negyven rad/s² esetén a többlet 4 N·m, a szükséges bemenet 22/10,8 ≈ 2,0370 N·m, már több a példabeli 2 N·m-nél.
Ez a kiegészítés csak a megadott terhelés tehetetlenségét és állandó 18 N·m ellenálló nyomatékát tartalmazza. A motor és a fogaskerekek saját tehetetlensége, a tapadási súrlódás, a változó hatásfok és a motor teljes gyorsítás alatti nyomatékgörbéje további adatot kér. A kisebb gyorsítás száma ezért önmagában még nem indítási megfelelőség. Az állandósult munkapont és a gyorsítás ellenőrzését külön számításként őrizd meg.
A közvetítő kerék és a köztes tengely ne keveredjen
Képzelj el három egymást követően kapcsolódó kereket: 20 fogú hajtó, 40 fogú közvetítő és 60 fogú végső hajtott kerék. Ha mindegyik külön tengelyen van, az arányok szorzata 40/20 × 60/40 = 3. A középső fogszám kiesik az eredő hányadosból.
Ez a felépítés más, mint a korábbi kétfokozatú példa, ahol a köztes tengelyen két különböző fogszámú kerék együtt forgott. A kalkulátor kétfokozatú módja ezt az együtt forgó, kétkerekes köztes tengelyt feltételezi. Egy szabadon forgó közvetítő kerék helyett két fokozatot beírni csak a kapcsolás pontos értelmezésével lehet helyes.
A rajz vagy alkatrészlista mellett ezért jelöld, mely elemek osztoznak tengelyen. A fogszámok felsorolása önmagában nem határozza meg a teljes hajtás felépítését. Ez a tisztázás sokkal korábban megfogja a hibát, mint egy későbbi, tizedesjegyekig ellenőrzött nyomatékszámítás.
Mi történik gyorsító áttételnél?
Ha a hajtó kerék 60, a hajtott 20 fogú, a választott definíció szerint i = 1/3. 1200 fordulat/perc bemenettel a kimenet 3600 fordulat/perc. Két N·m bemenő nyomaték és 90%-os hatásfok mellett a kimenő nyomaték 2 × 1/3 × 0,90 = 0,6 N·m.
A teljesítmény ismét körülbelül 226,19 W. Ez a példa ellenőrzi az arány irányát: gyorsításkor a rendelkezésre álló nyomaték csökken. A nagy kimeneti fordulat megengedhetőségét ettől függetlenül a konkrét alkatrészekhez kell igazolni.
A számítási lapra írd rá a kapcsolás típusát, a hajtó és hajtott fogszámokat, a bemenő adatokat és a hatásfok forrását. A nyomaték eredményét mindig nézd meg a fordulatszámmal és a teljesítménnyel együtt. Így a modell belső következetességét ellenőrizheted, mielőtt részletes gépészeti kérdésekkel folytatod.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. 20 fogú hajtókerék 60 fogú kereket hajt. A bemenet 1200 1/min és 2 Nm, a hatásfok 90%. Melyik kimenet helyes?
- A) 400 1/min és 5,4 Nm.
- B) 3600 1/min és 6 Nm.
- C) 400 1/min és 6 Nm.
2. Két fokozat hatásfoka 95% és 96%. Mennyi az összhatásfok?
- A) 91,2%.
- B) 95,5%.
- C) 191%.
3. 1200 1/min bemenetről 100 1/min és legalább 25 Nm kellene, de a 12-es áttétel csak 21,6 Nm-t ad. A 15-ös áttétellel kapott 27 Nm teljesíti az eredeti célt?
- A) Igen, mert a 27 Nm nagyobb 25 Nm-nél.
- B) Nem: a kimenet ekkor 80 1/min, tehát a sebességcél nem teljesül.
- C) Igen, mert a nagyobb áttétel a fordulatszámot is növeli.
Megoldások és pontozás
1. A. A cikk definíciójával i = 60/20 = 3. A fordulatszám 1200/3 = 400, a nyomaték 2 × 3 × 0,9 = 5,4 Nm. Ismétléshez: Egy fogaskerékpár teljes számítása.
2. A. A második fokozat már az első után megmaradt teljesítményt kapja, ezért 0,95 × 0,96 = 0,912, vagyis 91,2%. Ismétléshez: A fokozatonkénti hatásfokot előbb egyesítsd.
3. B. A 15-ös áttétel a megadott bemenetről 1200/15 = 80 1/min-et ad. A terhelési cél nyomatékból és fordulatszámból álló munkapont. Ismétléshez: A terhelésből számolj vissza a szükséges bemenetre.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.