Háromhalmazos létszám: így számold az átfedéseket és a valódi résztvevőszámot

Egy rendezvény három programjára lehet jelentkezni, és ugyanaz az ember többet is választhat. A programonkénti létszámok összeadása ilyenkor a jelentkezések számát adja. Az egyedi résztvevők számához az átfedéseket is ismerned kell. Ugyanez történik több jelölhető válaszos kérdőívnél, tanfolyamlisták vagy érdeklődési körök összesítésénél.

A háromhalmazos létszám kalkulátor a három csoport, a páros metszetek és a hármas metszet alapján szétbontja a résztvevőket hét elkülönülő csoportba. A felület a teljes vizsgált létszámot is kéri: ebből számolja ki a minden programból kimaradók számát.

A páros metszet pontos jelentése

Jelöljük A-val, B-vel és C-vel a három programra jelentkezők halmazát. Az A és B metszete mindenkit tartalmaz, aki A-ra és B-re is jelentkezett. Azok is ide tartoznak, akik közben C-re szintén jelentkeztek. A „pontosan A és B” megfogalmazás ezzel szemben kizárja a C-hez tartozókat.

Ez az eltérés a bemeneti adatoknál különösen fontos. Ha a kérdőíves rendszer azt írja, hogy 17 ember pontosan az első két programot választotta, és 8 ember mindhármat, akkor az A és B metszet mezőbe 17 + 8 = 25 kerül.

Az OpenStax három halmaz műveleteiről szóló fejezete részletesen megkülönbözteti ezeket a tartományokat. A teljes csoport nyolc elkülönülő részre bontható: három csak egyes, három pontosan páros, egy hármas és egy mindenen kívüli részre.

Egy 120 fős, végigszámolt példa

Képzelj el 120 megkérdezett résztvevőt. A programra 62, B-re 48, C-re 40 fő jelentkezett. A páros metszetek: A és B 25 fő, A és C 20 fő, B és C 15 fő. Mindhárom programot 8 ember választotta. A példa feltételezi, hogy minden adat ugyanabból a 120 fős körből, azonos időpontban származik.

Kezdd a hármas metszettel: oda 8 kerül. Ezután a pontosan két programot választók következnek. Csak A és B: 25 − 8 = 17 fő. Csak A és C: 20 − 8 = 12 fő. Csak B és C: 15 − 8 = 7 fő.

A kizárólag A programot választók száma 62 − 17 − 12 − 8 = 25. Kizárólag B-re 48 − 17 − 7 − 8 = 16 fő jelentkezett. Kizárólag C-re 40 − 12 − 7 − 8 = 13 fő. Most már minden jelentkező egyetlen elkülönülő csoportban szerepel.

A hét belső csoport összege 25 + 16 + 13 + 17 + 12 + 7 + 8 = 98. A programok közül egyet sem választók száma 120 − 98 = 22. Az eredeti 150 jelentkezés mögött tehát 98 különböző ember áll.

A szitaformula ugyanennek a rövid alakja

Az egyes csoportokat összeadva minden pontosan két csoporthoz tartozó embert kétszer számolunk. A mindháromhoz tartozókat háromszor. A páros metszetek levonásával a páros átfedések rendeződnek, a hármas rész viszont teljesen kiesik. Ezt egyszer vissza kell adni.

Legalább egy csoport létszáma = A + B + C − AB − AC − BC + ABC.

A példában 62 + 48 + 40 − 25 − 20 − 15 + 8 = 98. Az Ohio State University szitaformulát tárgyaló tananyaga a több halmazra vonatkozó összefüggést is levezeti. A rövid képlet használatakor ugyanaz a metszetértelmezés szükséges, mint a részletes felbontásnál.

A képlet eredményét érdemes a hét külön tartomány összegével is ellenőrizni. Ha a két út eltérő számot ad, általában egy metszetet rosszul értelmeztél vagy egy kivonás maradt ki. A kalkulátor a részletes bontással segít megtalálni az ilyen eltéréseket.

Pontosan egy, pontosan kettő és legalább kettő

A példában pontosan egy programot 25 + 16 + 13 = 54 ember választott. Pontosan két programot 17 + 12 + 7 = 36 ember. Legalább két programot a pontosan kettőt és a mindhármat választók együtt: 36 + 8 = 44 ember.

A „legalább” szó miatt az utolsó két eredmény különbözik. Hasonlóan, a „legfeljebb egy program” a 22 kívül maradót is tartalmazza, így 22 + 54 = 76. A „legalább egy program” pedig az összes belső csoport, vagyis 98.

A jelentkezési terhelés ellenőrzéséhez súlyozhatod is a csoportokat: 54 × 1 + 36 × 2 + 8 × 3 = 150. Ugyanez adódik az A, B és C programlétszámának összegéből. Ez a szám például összes programhely-igényt mutathat, miközben a belépők számának tervezéséhez a 98 egyedi személy lehet releváns.

Melyik két program tartja meg a legtöbb jelentkezőt?

Tegyük fel, hogy az eredeti három programból csak kettőt tarthatsz meg. A cél a legalább egy megmaradó programra eredetileg jelentkező különböző személyek számának maximalizálása. A jelentkezési szándékot változatlannak vesszük: átterelést, lemondást és férőhelykorlátot ez a saját döntési példa nem modellez.

A megadott cél szerint az A és B páros a legkedvezőbb. C elhagyása nem a teljes 40 fős C-létszám elvesztését jelenti: közülük 27 ember A-ra vagy B-re is jelentkezett. A kieső elérés a kizárólag C-t választó 13 fő.

Más cél eltérő választást indokolhat, például eltérő programköltség, kötelező tananyag vagy kapacitás. Az átfedési adatokból az elérési következmény számítható ki; a résztvevők későbbi választását külön kell felmérni.

Százalékot csak megnevezett alaphoz számolj

A 98 jelentkező a teljes 120 fős kör 81,666…%-a. A 44 többprogramos résztvevő a teljes kör 36,666…%-át, a legalább egy programot választók 44 / 98 × 100 = 44,8979…%-át adja. A két százalék eltérő kérdésre válaszol.

A százalékkalkulátorban az alaphoz írd a megfelelő létszámot. Ha jelentkezési arányt mutatsz a szervezőknek, a megkérdezettek vagy meghívottak köre lehet az alap. Ha a résztvevők összetételét elemzed, a ténylegesen jelentkezők köre lehet megfelelő. A tájékoztatóban ezt röviden tüntesd fel.

A több válasz jelölését engedő kérdőíveknél a programonkénti százalékok összege meghaladhatja a 100%-ot. A példában a 150 jelentkezés / 120 ember = 125%. Ezt a jelenséget önmagában nem kell javítani; az értelmezést kell egyértelművé tenni.

Hogyan ismerd fel az ellentmondó adatokat?

A hármas metszet legfeljebb akkora lehet, mint bármelyik páros metszet. Egy páros metszet legfeljebb akkora lehet, mint a két érintett csoport kisebbike. Ez a két gyors összevetés szükséges feltételeket ellenőriz.

Önmagukban mégsem elegendők. Legyen A = 10, AB = 8, AC = 7, ABC = 2. A kizárólagos rész 10 − 8 − 7 + 2 = −3 lenne. A megadott adatok együtt így nem valósíthatók meg, pedig a páros metszetek külön-külön kisebbek A-nál.

A teljes ellenőrzéshez számítsd ki mind a nyolc elkülönülő tartományt, a minden programból kimaradókat is beleértve. Ha mindegyik létszám nemnegatív egész, és összegük a teljes vizsgált létszám, akkor az ezekből összeálló csoportok és metszetek számszerűen megvalósíthatók. A negatív kizárólagos rész a fenti példában éppen ezt a teljes ellenőrzést sérti.

Gyakori ok, hogy az egyik jelentés csak aktív regisztrációkat, a másik már lemondott jelentkezéseket is tartalmaz. Máskor a duplikált személyek vagy eltérő időpontok okozzák az eltérést. A negatív eredmény észlelésekor először az adatdefiníciókat ellenőrizd, majd a forráslistákat.

Milyen létszám mondható, ha a hármas átfedés hiányzik?

Tartsuk meg a 120 fős teljes kört, a 62, 48 és 40 fős programlétszámokat, valamint a 25, 20 és 15 fős páros metszeteket. Most azonban a mindhárom programot választók száma ismeretlen. Jelöld ezt t-vel.

A pontosan páros részek 25 − t, 20 − t és 15 − t. A csak egy programot választók száma rendre:

• Csak A: 62 − 25 − 20 + t = 17 + t.
• Csak B: 48 − 25 − 15 + t = 8 + t.
• Csak C: 40 − 20 − 15 + t = 5 + t.

Az egyedi jelentkezőszám 62 + 48 + 40 − 25 − 20 − 15 + t = 90 + t. A kívül maradók száma ezért 120 − (90 + t) = 30 − t.

Minden résznek nemnegatív egésznek kell lennie. A t legalább nulla. A páros részek közül a 15 − t adja a legerősebb felső korlátot: t legfeljebb 15. A kívül maradó csoport t ≤ 30 feltétele ennél lazább, a három csak egyes rész pedig ebben a példában minden nemnegatív t-re megfelelő.

Így t bármely egész szám lehet 0 és 15 között, és a megadott adatokból az egyedi jelentkezőszám csak 90 és 105 fő közé szorítható.

Mindhárom sor összeegyeztethető ugyanazokkal az egyes és páros programlétszámokkal. A nulla beírása ezért érdemi feltételezés lenne, nem a hiányzó adat semleges pótlása. A kalkulátorban a két szélső esetet külön megadva ellenőrizheted a teljes felbontást.

A 90–105 fős tartomány itt a hiányzó információból következik; nem statisztikai konfidenciaintervallum. Ha egy pontos belépőszámra van szükséged, a hármas metszetet vagy a már deduplikált teljes résztvevőlistát kell megszerezned. Más bemeneteknél a csak egyes tartományok is adhatnak pozitív alsó korlátot t-re, ezért a teljes felbontás vizsgálata nem hagyható el.

Ettől még a korábbi kétprogramos választás eldönthető. Az A és B együttes elérése továbbra is 62 + 48 − 25 = 85 fő: ehhez a hármas metszet külön értéke nem szükséges, mert a 25 fős közös csoport már tartalmazza azt. A másik két programpár elérése is változatlan. A legnagyobb elérésű pár kiválasztható akkor is, amikor mindhárom program összesített egyedi létszáma még csak tartománnyal írható le.

Két halmaz és a hiányzó hármas adat

Két csoporthoz a C, AC, BC és ABC értékét nullára állíthatod. Ekkor a képlet A + B − AB alakra egyszerűsödik. Három csoportnál viszont a hármas metszetet általában nem lehet elhagyni: eltérő ABC érték más egyedi összlétszámot eredményezhet.

Ha a teljes unió is ismert, a képletből a hármas metszet visszaszámítható, majd az összes tartományt ellenőrizni kell. A törtkalkulátor a létszámokból képzett pontos arányokhoz ad segítséget. A megbízható végső feljegyzés tartalmazza a teljes vizsgált kört, a csoportok definícióját, az adatfelvétel időpontját és azt is, hogy a páros metszetekbe beleszámítottak a mindháromhoz tartozók.

Záró tudáspróba

Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.

1. Az A és B közös jelentkezői 25-en vannak, közülük 8-an C-re is jelentkeztek. Mit írj az A∩B mezőbe a cikkben használt befoglaló metszetnél?

• A) 33-at.
• B) 17-et.
• C) 25-öt.

2. A = 62, B = 48, C = 40, AB = 25, AC = 20, BC = 15, ABC = 8. Hány különböző ember jelentkezett legalább egy programra?

• A) 90.
• B) 98.
• C) 150.

3. Ugyanezek a halmaz- és páros metszetméretek ismertek, a hármas metszet hiányzik. Mi mondható a legalább egy programra jelentkezők számáról?

• A) A megadott feltételekkel 90 és 105 fő közé esik.
• B) Biztosan 120 fő.
• C) Biztosan 90 fő, mert a hiányzó adat nulla.

Megoldások és pontozás

1. C. A páros metszet a harmadik halmazhoz is tartozókat magában foglalja. A kizárólag A és B tartomány 25 − 8 = 17, de az A∩B bemenet 25. Ismétléshez: A páros metszet pontos jelentése.

2. B. A szitaformula 62 + 48 + 40 − 25 − 20 − 15 + 8 = 98. A 150 a jelentkezések száma, amely egy embert többször is számolhat. Ismétléshez: A szitaformula ugyanennek a rövid alakja.

3. A. A hármas metszet t értéke 0 és 15 között lehet úgy, hogy minden kizárólagos rész nemnegatív. Az unió 90 + t, ezért 90–105 fő. Ismétléshez: Milyen létszám mondható, ha a hármas átfedés hiányzik?.

Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.

• 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
• 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
• 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
• 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.