Kétismeretlenes egyenletrendszer: darabszám és összérték ellenőrzése

Ha két terméktípus darabszáma ismeretlen, de a teljes darabszám, a két egységár és az összérték ismert, két egyenletet írhatsz fel. A megoldást azután az egész, nem negatív darabszám követelményével is ellenőrizni kell. Egy algebrailag helyes 11,4 darabos eredmény egész jegyek esetén adatellentmondást jelez.

A számítás akkor írja le a helyzetet, ha az összes tétel valóban a két ismert ár valamelyikén szerepel. Visszatérítés, harmadik árkategória vagy külön díj esetén előbb ezeket kell tisztázni az összesítőben.

Két ár, huszonnégy jegy

Szemléltető példánkban egy eseményre 24 jegyet adtak el. A feltételezett teljes ár 2800 Ft, a kedvezményes ár 1800 Ft, a jegyek összértéke 54 200 Ft. Jelölje x a teljes árú, y a kedvezményes jegyek számát.

A darabszám egyenlete x + y = 24. A bevételé 2800x + 1800y = 54 200. Az elsőből y = 24 − x, ezt behelyettesítve 2800x + 1800 × (24 − x) = 54 200.

A zárójel felbontása 2800x + 43 200 − 1800x = 54 200 alakot ad. Az azonos tagok összevonása után 1000x = 11 000, tehát x = 11. A másik darabszám y = 24 − 11 = 13.

A behelyettesítéses módszert az OpenStax kétismeretlenes egyenletrendszerekről szóló fejezete is végigvezeti. A jegyárak és az értékesítési adatok itt kitalált szemléltető adatok.

Az eredmény kétféle ellenőrzése

A teljes árú jegyek értéke 11 × 2800 = 30 800 Ft. A kedvezményeseké 13 × 1800 = 23 400 Ft. Összegük 54 200 Ft, a darabszám 11 + 13 = 24. Az eredmény mindkét eredeti egyenletnek megfelel.

Egy másik gondolatmenet ugyanide vezet. Ha mind a 24 jegy 1800 Ft-os volna, a bevétel 43 200 Ft lenne. A ténylegesként megadott összeg 11 000 Ft-tal több. Minden teljes árú jegy 1000 Ft-tal növeli ezt az alapösszeget, ezért 11 000 / 1000 = 11 ilyen jegy kellett.

Az általános összefüggés ebből x = (B − n × p₂) / (p₁ − p₂), ahol B az összérték, n a darabszám, p₁ a drágább és p₂ az olcsóbb egységár. Ezt csak különböző p₁ és p₂ áraknál használhatod.

Mit árul el a tört darabszám?

Ha a megadott összérték 54 600 Ft lenne, ugyanebből a képletből x = (54 600 − 43 200) / 1000 = 11,4 következne, y pedig 12,6 lenne. Ezek valós számként megoldják az egyenleteket, egész jegyek számának azonban nem felelnek meg.

Ilyenkor a kerekítés nem javítja az adatot. A 11 és 13 darab 54 200 Ft-ot adna, a 12 és 12 darab pedig 55 200 Ft-ot. Az eltérést okozhatja elírás vagy kihagyott árkategória; a számítás az okot nem dönti el, csak a kétáras modell hibáját mutatja meg.

A bevétel gyors határellenőrzése is hasznos. Huszonnégy jegy e két áron legalább 43 200 és legfeljebb 67 200 Ft-ot jelenthet. Ezen a tartományon belül az egész darabszám még külön követelmény, ezért a tartományba esés önmagában kevés.

Ha az összértéket csak közelítőleg ismered

A visszaszámolás érzékenységét a két ár különbsége határozza meg. Az x = (B − np₂)/(p₁ − p₂) képletben azonos darabszám és árak mellett egy ΔB összegeltérés Δx = ΔB/(p₁ − p₂) darabszámeltérést okoz a formális megoldásban.

Nézzünk külön példát 24 jeggyel, ezúttal 2800 és 2750 Ft-os árakkal. Tegyük fel, hogy a bevételről csak 66 550 ± 100 Ft pontosságú összesítés maradt. A megengedett összeg így 66 450 és 66 650 Ft közé esik; ez a feladatban választott határ, nem a méréshez rendelt valószínűség.

Ha minden jegy 2750 Ft-os lenne, 24 × 2750 = 66 000 Ft folyna be. Minden drágább jegy 50 Ft-tal növeli ezt. A teljes árú jegyek száma ezért legalább (66 450 − 66 000)/50 = 9, legfeljebb (66 650 − 66 000)/50 = 13.

A középértékből kapott 11 teljes árú jegy tehát csak egy az öt megengedett egész összetétel közül. A ±100 Ft az 50 Ft-os árkülönbségnél ±2 jegyet jelent. Az eredeti, 1000 Ft-os árkülönbségű példában ugyanekkora összegeltérés csupán ±0,1 lenne a formális darabszámban.

Ha az elszámoláshoz egyetlen darabszám kell, az adatot kell pontosítani: például a jegytípusonkénti nyilvántartást vagy a pontos bevételt előkeresni. A számológép több tizedesjegye nem választ az öt, adatokkal egyaránt összeegyeztethető eset közül. Ha a két ár ugyanaz a p érték, először azt ellenőrizd, hogy az összérték valóban n × p-e. Egyezéskor bármely, összesen n darabot adó nem negatív egész megoszlás megfelel; az összeg nem segít kiválasztani a típusokat. Eltérő összértéknél egyetlen megoszlás sem teljesíti a kétárasnak feltételezett modellt. Az árak egyenlősége tehát lehet információhiány és adatellentmondás kiindulópontja is, az összértéktől függően.

Közelítő összegből is kijöhet egyetlen egész összetétel

Az eredeti 2800 és 1800 Ft-os árak mellett tegyük fel, hogy a 24 jegy bevételét a legközelebbi ezer forintra kerekítve 54 000 Ft-ként jegyezték fel. A szokásos, félnél felfelé kerekítés szerint a pontos összeg legalább 53 500 és 54 500 Ft-nál kisebb.

Az egész jegyszámhoz tartozó bevételek 43 200 + 1000x alakúak. A tartományban csak 54 200 Ft szerepel: a szomszédos lehetőségek 53 200 és 55 200 Ft. Így a kerekítés ellenére is egyedül a 11 teljes árú és 13 kedvezményes jegy felel meg.

A lehetséges bevételek közötti lépcső p₁ − p₂. Ennél keskenyebb bizonytalansági tartományba legfeljebb egy ilyen érték fér, de előfordulhat, hogy egy sem. A tartományt ezért mindig metszeni kell az egész, 0 és n közötti x-ek bevételeivel. A közelítő adat önmagában nem indokolja sem a tört darabszám kerekítését, sem több összetétel feltételezését.

A két egyenlet legyen független

Ha a második sor csak az első kétszerese, például x + y = 24 és 2x + 2y = 48, nincs új információ a megoszlásról. Sok számpár megfelel. Ha a második jobb oldal 50, a két sor egymásnak ellentmond, így nincs megoldás.

A lineárisegyenletrendszer-kalkulátorban válaszd a kétismeretlenes módot. Az első sorba 1, 1, 24; a másodikba 2800, 1800, 54 200 kerüljön. A kapott 11 és 13 mellé írd oda, melyik jegytípust jelöli, majd végezd el a darabszám- és összérték-ellenőrzést is.

Záró tudáspróba

Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.

1. 24 jegy 2800 és 1800 Ft-os áron összesen 54 200 Ft. Hány teljes árú jegy fogyott?

• A) 13.
• B) 11.
• C) 24.

2. Ugyanezekkel az árakkal 54 600 Ft összegből 11,4 és 12,6 jegy adódik. Mi a helyes következő lépés?

• A) A forrásadatot és a kétáras modellt ellenőrzöd; a jegyszámok kerekítése nem oldja meg az eltérést.
• B) 11 és 13 darabra kerekítesz, ezzel minden eredeti adat teljesül.
• C) 12 és 12 darabra kerekítesz, ezzel minden eredeti adat teljesül.

3. A 24 jegy bevétele a legközelebbi ezerre, félnél felfelé kerekítve 54 000 Ft. Az árak 2800 és 1800 Ft. Hány egész összetétel fér a kerekítési tartományba?

• A) Egy: 11 teljes árú és 13 kedvezményes, 54 200 Ft-tal.
• B) Egy sem.
• C) Öt.

Megoldások és pontozás

1. B. Mind a 24 olcsó jegy 43 200 Ft lenne. Az 11 000 Ft többletet jegyenként 1000 Ft különbség adja, ezért 11 teljes árú jegy kell. Ismétléshez: Két ár, huszonnégy jegy.

2. A. A 11/13 megoszlás 54 200 Ft, a 12/12 megoszlás 55 200 Ft. Az 54 600 Ft egyikhez sem tartozik, ezért egész jegyeknél nem szabad a tört megoldást egyszerűen kerekíteni. Ismétléshez: Mit árul el a tört darabszám?.

3. A. A tartomány [53 500; 54 500), a lehetséges bevételek 43 200 + 1000x alakúak. Ebbe egyedül az x = 11-hez tartozó 54 200 esik. Ismétléshez: Közelítő összegből is kijöhet egyetlen egész összetétel.

Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.

• 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
• 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
• 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
• 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.