Ideális, állandó kapacitású kondenzátor tárolt energiája E = CU²/2, töltése Q = CU. A feszültség négyzetesen szerepel az energiában, ezért a feszültség felére csökkenése után az eredeti energia negyede marad. A kapacitás kétszerezése változatlan feszültségnél viszont kétszeres energiát jelent.
A számolásban a kapacitás faradban, a feszültség voltban szerepel; az energia joule-ban, a töltés coulombban adódik. A µF jelölést előbb át kell váltani: egy mikrofarad a farad milliomodrésze. A kapacitás betűjele C, és a coulomb egységjele szintén C lehet, ezért a mennyiség nevét is érdemes kiírni.
Egy 4700 µF-os saját példa
Legyen C = 4700 µF = 0,0047 F, a kezdeti feszültség pedig 12 V. A töltés Q₁ = 0,0047 × 12 = 0,0564 C, azaz 56,4 mC. A kezdeti energia E₁ = 0,0047 × 12²/2 = 0,3384 J.
A két eredmény különböző mennyiség. A coulomb az egyik fegyverzeten felhalmozott töltés nagyságát jelzi, a joule az elektromos mező energiáját. Az összefüggéseket és az energia levezetését az OpenStax kondenzátorenergiáról szóló fejezete tárgyalja.
Ha a feszültség 8 V-ra csökken, a megmaradó töltés Q₂ = 0,0047 × 8 = 0,0376 C. A maradó energia E₂ = 0,0047 × 8²/2 = 0,1504 J. A kapacitást a két állapot között változatlannak feltételezzük.
A tárolt energia csökkenése ΔE = E₁ − E₂ = 0,3384 − 0,1504 = 0,1880 J, vagyis 188 mJ. A 12 V-ról 8 V-ra esés tehát a kezdeti energia körülbelül 55,56%-ának leadásával jár. A kondenzátorban még 44,44% marad.
A két feszültség négyzetét külön számold
A közvetlen különbségképlet ΔE = C(U₁² − U₂²)/2. A zárójel a példában 12² − 8² = 144 − 64 = 80 V². Ezt szorozzuk 0,0047/2-vel, amiből ismét 0,188 J adódik.
A C(U₁ − U₂)²/2 alak más számítás: 0,0047 × 4²/2 = 0,0376 J. Ez nem a két állapot energiakülönbsége. A négyzetek különbsége általában nem egyenlő a különbség négyzetével.
Független ellenőrzésként a leadott töltés 0,0564 − 0,0376 = 0,0188 C. Állandó kapacitásnál a feszültség a töltéssel lineárisan változik, ezért a leadott töltés szerint átlagolt feszültség (12 + 8)/2 = 10 V. A szorzat 0,0188 × 10 = 0,188 J, az előző eredménnyel egyezően. Ez az átlag minden azonos nagyságú töltésrészletet azonos súllyal vesz figyelembe. Az idő szerinti átlagfeszültséghez a kisütés időbeli lefolyását is ismerni kellene; annak 10 V-os értékét ez a számítás nem állítja.
Mennyi működési időt jelenthet?
Tételezzünk fel egy 0,20 W állandó teljesítményigényű, ideális terhelést, amely 8 V alatt már nem működik. A 12 és 8 V között elérhető 0,188 J energiából a veszteségmentes idő t = ΔE/P = 0,188/0,20 = 0,94 s.
Ez a feltételezett állandó teljesítményű terhelésre vonatkozó energiamérleg. Egyszerű ellenállásos kisütésnél a teljesítmény változik a feszültséggel, ezért annak időfüggését az RC-időtag kalkulátorral vizsgálhatod. A tárolt energiából az áram pillanatnyi csúcsértéke sem következik a kör ellenállásainak ismerete nélkül.
Kapacitás visszaszámítása három másodperc működéshez
Most a 0,20 W-os terheléshez legalább 3 s működést kérünk, továbbra is a kondenzátor 12 V-ról 8 V-ra csökkenése alatt. Egészítsük ki a modellt egy energiaátalakítással: a kondenzátorból kivett energia 80%-a jut a kijelölt kimenetre. Az η = 0,80 itt állandónak feltételezett energiaátadási hatásfok, a működés alsó határa pedig továbbra is 8 V kondenzátorfeszültség.
A kimeneti energiaigény E_ki = 0,20 × 3 = 0,60 J. Ehhez a kondenzátornak ΔE = 0,60/0,80 = 0,75 J energiát kell leadnia. Az energiakülönbség képletéből a szükséges tényleges kapacitás:
C = 2ΔE/(U₁² − U₂²) = 2 × 0,75/(144 − 64) = 0,01875 F = 18 750 µF.
Vizsgáljunk meg egy saját választott, névlegesen 22 000 µF-os értéket. A 12 és 8 V közötti energiacsökkenés 0,022 × 80/2 = 0,88 J. Ennek 80%-ából a számított működési idő 0,88 × 0,80/0,20 = 3,52 s. A névleges adat alapján ez teljesíti a követelményt.
Tegyük fel azonban, hogy a kapacitás a névlegesnél legfeljebb 20%-kal kisebb lehet. A vizsgált alsó érték így 22 000 × 0,80 = 17 600 µF, és az idő 3,52 × 0,80 = 2,816 s. Ez már rövidebb a kért 3 s-nál. A feltételezett alsó tűréshatár mellett ezért legalább 18 750/0,80 = 23 437,5 µF névleges kapacitás szükséges ebben a modellben.
A két 0,80-as szorzó eltérő dolgot ír le: az egyik az energiaátalakításra, a másik a névlegeshez képest megmaradó kapacitásra vonatkozik. Mindkettő saját feltevés, és mindkettő külön csökkenti az elérhető időt. A számolás állandó kimeneti teljesítményt és hatásfokot feltételez; a teljes feszültségtartományban változó hatásfok vagy más leállási feszültség új energiamérleget igényel.
Két kondenzátor töltésmegosztása energiaveszteséggel járhat
Elméleti példaként legyen két egyforma, 4700 µF-os kondenzátor, egyikük 12 V-ra töltve, másikuk kezdetben üres. A forrást leválasztjuk, és az azonos polaritású kapcsok között egy pozitív, véges ellenállást tartalmazó úton hagyjuk kiegyenlítődni a töltést. A szivárgást és a környezet más hatását elhanyagoljuk.
A töltés megmaradásából a közös végfeszültség 6 V. Kezdetben 0,3384 J energia volt, végül a két kondenzátorban együtt 2 × 0,0047 × 6²/2 = 0,1692 J marad. A másik 0,1692 J a kiegyenlítő áram útjának ellenállásán alakul hővé ebben a modellben. A kisebb ellenállás az időbeli folyamatot és a csúcsáramot módosítja; ezt az energiakülönbséget nem szünteti meg.
A töltés megőrzése tehát nem biztosítja a kondenzátorokban tárolt energia változatlanságát. Az ilyen passzív kiegyenlítést külön kell kezelni egy szabályozott energiaátalakítástól. A példa energiamérleg, a valós összekapcsolás megengedett áramát és módját nem határozza meg.
Mit írj a kalkulátorba?
A kondenzátor töltés- és energiakalkulátor kapacitásmezője µF-ot kér. Ide 4700 kerüljön, a feszültségekhez 12 és 8. Az eszköz a kezdeti és végső energia különbségét kezdeti mínusz végső sorrendben értelmezi. Feltöltést megadva ezért negatív különbség is helyes lehet: energiát kell hozzáadni.
A modell nem számít ESR-veszteséget, szivárgást, feszültségfüggő kapacitást vagy megengedett impulzusáramot. Az energiaeredményből az alkatrész névleges feszültsége és biztonságos kisütési módja sem állapítható meg. A számításhoz használt feszültségváltozást ezért mindig az adott alkatrész tényleges adataival együtt értékeld.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és írd fel az A, B vagy C betűt. A három feladat után ellenőrizd magad a magyarázatokkal.
1. 4700 µF kapacitás 12 V-ról 8 V-ra sül. Mennyi energia szabadul fel az ideális modellben?
- A) 0,188 J
- B) 0,0376 J
- C) 0,3384 J
2. A 0,188 J teljesen hasznosul, és a terhelés állandóan 0,2 W-ot igényel a vizsgált feszültségtartományban. Meddig elég?
- A) 1,88 s-ig
- B) 0,94 s-ig
- C) 0,0376 s-ig
3. Két azonos kondenzátor közül az egyik 12 V-os, a másik üres. Ellenálláson át, külső forrás nélkül összekapcsolva mi az egyensúly?
- A) Mindkettő 12 V-os lesz.
- B) Mindkettő 6 V-os lesz, és az energia változatlan marad.
- C) Mindkettő 6 V-os lesz, és az eredeti energia fele marad tárolva.
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont; összesen 3 pont szerezhető. 3 pont: a vizsgált összefüggéseket helyesen alkalmaztad; következőként készíts számítást a saját bemeneteiddel. 2 pont: az eltévesztett feladatnál megnevezett részt olvasd újra, és ellenőrizd a megoldást a képlettel. 0–1 pont: kezdd a(z) A két feszültség négyzetét külön számold résszel, majd haladj végig a három magyarázaton, és oldd meg újra a kérdéseket. A próba a cikk megértéséről ad visszajelzést.
1. megoldás
A) 0,188 J – 0,5×0,0047×(12²−8²)=0,188 J. A két energiaszint különbségét számoljuk. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: A két feszültség négyzetét külön számold.
2. megoldás
B) 0,94 s-ig – t=E/P=0,188/0,2=0,94 s. Állandó ellenállásnál a teljesítmény változna a feszültséggel. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Mennyi működési időt jelenthet?.
3. megoldás
C) Mindkettő 6 V-os lesz, és az eredeti energia fele marad tárolva. – A töltés két azonos kapacitás között oszlik meg. A végső tárolt energia 2×C×6²/2, az eredetinek a fele; a különbség a megadott modellben az ellenálláson disszipálódik. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Két kondenzátor töltésmegosztása energiaveszteséggel járhat.