Az inflációval következetesen felépített nominális és reál számítás ugyanahhoz a mai nettó jelenértékhez vezet. Ha a két eredmény eltér, először az összegek árszintjét, a diszkontráta értelmezését és a pénzmozgások időpontját ellenőrizd. A beruházás megítélését már az is megfordíthatja, ha a jövőbeli árakkal számított pénzáramhoz inflációtól megtisztított rátát használsz.
A következő saját, hipotetikus projekt induló kiadása húszmillió forint. A helyes nettó jelenérték körülbelül 1 683 712 Ft. Megmutatjuk mindkét helyes számítási utat, az ár és a darabszám eltérő szerepét, majd azt a költséginflációs küszöböt, amelynél a beruházás NPV-je nullára csökken.
Rögzítsd az árak időpontját és a változásuk ütemét
Nominális pénzáramnak itt azt az összeget nevezzük, amely a jövőbeli fizetés időpontjának forintjaiban szerepel. A reál pénzáramot ugyanannak az összegnek a mai vásárlóerőre visszaosztott értékeként használjuk. Az általános árszintváltozás mellett a saját terméked ára, a beszerzés egységköltsége és a működés fix költsége eltérő ütemben is változhat. Ezt a különbséget az ACCA inflációs beruházásértékelési útmutatója is külön kezeli.
A példában minden induló egységár és költség a mai, 0. időpont árszintjére vonatkozik. A projekt három évig tart. Az értékesítésből származó pénz és az adott évi működési kiadás az év végén rendeződik. Adót, külön forgótőke-lekötést és finanszírozási pénzmozgást nem modellezünk. Az induló beruházást ma fizetjük, a harmadik év végén pedig négymillió forint nettó eszközeladási pénz folyik be.
| Feltételezés | Érték a saját példában |
|---|---|
| Mai beruházási kiadás | 20 000 000 Ft |
| Mai eladási egységár | 20 000 Ft/db |
| Eladási ár évenkénti emelkedése | 4% |
| Mai változó egységköltség | 10 000 Ft/db |
| Változó egységköltség éves emelkedése | 6% |
| Mai éves fix működési költség | 3 000 000 Ft |
| Fix működési költség éves emelkedése | 5% |
| Általános éves infláció a modellben | 5% |
| Éves reál elvárt hozam | 8% |
| Értékesítés az 1., 2., 3. évben | 1000; 1100; 1210 db |
| Eszközeladás a 3. év végén | 4 000 000 Ft, már jövőbeli névértéken |
A három növekedési feltevéshez eltérő adat kell. Az eladási áremeléshez azt kell alátámasztanod, milyen árat fogadnak el a vevők. A költségdráguláshoz beszerzési és működési becslés szükséges. A darabszámhoz pedig kereslet és kapacitás. A példabeli 5%-os általános infláció nem egy ország vagy év tényleges adata, és nem írja elő automatikusan a másik három változó ütemét.
Az árbevételt az egységár és a volumen külön sorából építsd fel
Mivel a kiinduló ár ma érvényes, az első évre már egy évi áremelkedést alkalmazunk. Az első évi eladási ár 20 000 × 1,04 = 20 800 Ft, a második évi 20 000 × 1,04² = 21 632 Ft. A darabszám ettől függetlenül 1000-ről 1100-ra nő.
Az árbevétel ezért az első és második év között 1,04 × 1,10 = 1,144-szeresére emelkedik, vagyis 14,4%-kal. Ebből 4% az egységár változása, 10% a mennyiségé; a két hatás szorzódik. Ha a darabszámot már növelted, a kiszámolt árbevételre újra alkalmazott 10%-os volumenemelés kétszer venné figyelembe ugyanazt a változást.
A változó költséget szintén az adott évi darabszámmal szorozzuk. A fix költség ebben a mennyiségi tartományban a termeléstől függetlenül adott, és csak a feltételezett évi 5%-kal változik. Az ACCA összetett beruházási példája ugyancsak elkülöníti az egységárat, a mennyiséget, az egyedi árváltozást és az időpontot. Az alábbi számsor saját modell.
| Tétel | 1. év | 2. év | 3. év |
|---|---|---|---|
| Eladott mennyiség | 1000 db | 1100 db | 1210 db |
| Eladási egységár | 20 800 Ft | 21 632 Ft | 22 497,28 Ft |
| Változó egységköltség | 10 600 Ft | 11 236 Ft | 11 910,16 Ft |
| Árbevétel | 20 800 000 Ft | 23 795 200 Ft | 27 221 708,80 Ft |
| Összes változó költség | 10 600 000 Ft | 12 359 600 Ft | 14 411 293,60 Ft |
| Fix működési költség | 3 150 000 Ft | 3 307 500 Ft | 3 472 875 Ft |
| Működési pénzáram | 7 050 000 Ft | 8 128 100 Ft | 9 337 540,20 Ft |
| Eszközeladásból befolyó pénz | 0 Ft | 0 Ft | 4 000 000 Ft |
| Teljes nominális pénzáram | 7 050 000 Ft | 8 128 100 Ft | 13 337 540,20 Ft |
A második év például így ellenőrizhető: 1100 × 21 632 − 1100 × 11 236 − 3 307 500 = 8 128 100 Ft. A harmadik évi négymilliós eszközeladást egyszer adjuk hozzá. Az induló húszmilliót külön, a mai pénzáramnál számoljuk el.
A modell éves működési pénzárama a megadott feltételek miatt közvetlenül a bevétel és a kifizetett működési költségek különbsége. Egy valós eredménykimutatás nyereségét ehhez előbb pénzmozgásokra kell átvezetni: például az értékcsökkenés, az adófizetés, a kintlévőség és az új készlet eltérő időzítést okozhat.
A nominális rátát szorzással állítsd elő
Az általános infláció és a reál elvárt hozam a következő kapcsolatot adja:
1 + nominális ráta = (1 + reálráta) × (1 + általános infláció).
A saját feltételezéseinkkel 1,08 × 1,05 = 1,134, tehát a megfelelő nominális effektív éves ráta 13,4%. A 8% + 5% = 13% összeadás közelítés lenne. Ebben a számításban a pontos szorzót használjuk végig. A kapcsolatot az előbb hivatkozott ACCA-útmutató Fisher-összefüggésként közli.
A 6%-os költségdrágulás nem kerül még egyszer a diszkontrátába. A saját költségpályát a számláló pénzáramaiban már átvezettük; a nominális és reál ráta közötti átszámítást a modell 5%-os általános inflációja határozza meg.
Ez az azonosság következetességi szabály a felvett pénzáramok és ráták között. A 8%-os reál elvárás itt adott feltevés. Egy valós projekt megfelelő rátáját a jelen számítás nem becsüli meg a beszerzési árakból.
Ugyanannak a beruházásnak a nominális és a reál jelenértéke
A jövőbeli forintösszegeket 13,4%-kal diszkontálva:
NPV = −20 000 000 + 7 050 000 / 1,134 + 8 128 100 / 1,134² + 13 337 540,20 / 1,134³ ≈ 1 683 711,80 Ft.
A reál úthoz előbb minden egyes nominális pénzáramot visszaosztunk a hozzá tartozó általános inflációs szorzóval. Egyéves összegnél 1,05-tel, kétévesnél 1,05²-tel, háromévesnél 1,05³-nal. Az így kapott összegek mind a mai vásárlóerőben szerepelnek.
| Év | Nominális pénzáram | Reál pénzáram mai árszinten | Jelenérték mindkét úton |
|---|---|---|---|
| 1. | 7 050 000,00 Ft | 6 714 285,71 Ft | 6 216 931,22 Ft |
| 2. | 8 128 100,00 Ft | 7 372 426,30 Ft | 6 320 667,27 Ft |
| 3. | 13 337 540,20 Ft | 11 521 468,70 Ft | 9 146 113,32 Ft |
A reál pénzáramokat ezután évi 8%-kal diszkontáljuk. Például a harmadik évnél 13 337 540,20 / 1,05³ / 1,08³ pontosan ugyanazt a jelenértéket adja, mint a 13 337 540,20 / 1,134³. Az ok az, hogy 1,05³ × 1,08³ = 1,134³.
A három jelenérték pontos összege körülbelül 21 683 711,80 Ft. Ebből mindkét úton a ma fizetett húszmilliót vonjuk le. A táblázat köztes sorai kerekítettek; az összegzést a belső, kerekítetlen értékekből végeztük.
A reál számításhoz sem hagyhatod el az eltérő költség- és árváltozást. Az első évi eladási egységár mai árszinten 20 800 / 1,05 ≈ 19 809,52 Ft. A változó egységköltség ugyanígy 10 600 / 1,05 ≈ 10 095,24 Ft. A mai 20 000 és 10 000 forinthoz képest a reál eladási ár csökken, a reál egységköltség nő. A változó költség gyorsabb emelkedése a reál táblázatban is megmarad.
A változó költség utáni darabfedezet ennek következtében (20 800 − 10 600)/1,05 = 9714,29 Ft mai vásárlóerőn, a kiinduló 10 000 Ft-nál körülbelül 2,86%-kal kevesebb. Ha külön célként az eredeti reál darabfedezetet szeretnéd megtartani az első évben, a szükséges ár 10 600 + 10 000 × 1,05 = 21 100 Ft, azaz 5,5%-os emelés lenne. Ez a változó egységköltség és a fedezet vásárlóerejének feltételes árazási célja; a fix költséget és a megváltozó keresletet még külön kell vizsgálni. A vevők ezt az árat nem feltétlenül fogadják el változatlan darabszámmal. Az eredeti NPV-táblák továbbra is a megadott 4%-os áremelésből indulnak.
Két rossz párosítás ugyanebből az adatsorból
A számítási hiba nagyságát úgy láthatod, ha a pénzáramsorhoz szándékosan a másik értelmezésű rátát kapcsolod. Minden pénzáram és a húszmilliós induló összeg az előző példából származik.
| Pénzáram és ráta | Kapott NPV | Értékelés |
|---|---|---|
| Nominális pénzáram, 13,4%-os nominális ráta | 1 683 712 Ft | Következetes |
| Reál pénzáram, 8%-os reálráta | 1 683 712 Ft | Következetes |
| Nominális pénzáram, 8%-os reálráta | 4 084 083 Ft | Túlbecsült jelenérték |
| Reál pénzáram, 13,4%-os nominális ráta | −445 325 Ft | Alulbecsült jelenérték |
A harmadik sorban az árak emelkedése benne maradt a jövőbeli összegekben, a ráta mégis a reálértékelésé. A negyedik sorban az összegeket már megtisztítottuk az általános inflációtól, majd az inflációt is tartalmazó rátával diszkontáltuk őket. Ugyanaz a projekt emiatt látszólag elutasítandóvá válik.
A hiba javításához rögzítsd a fejlécben, milyen árszinten áll az összeg, és ehhez válassz rátát. A módszer helyreállítása után a két helyes út egyezése külön ellenőrzést ad.
Mennyi költségdrágulást bír el a projekt?
Most kizárólag a változó egységköltség éves növekedését módosítjuk. A darabszámok, a 4%-os eladási áremelés, az 5%-os fixköltség-emelkedés, a négymilliós jövőbeli eszközeladás és a 13,4%-os nominális diszkontráta változatlan. A módosított egységköltséget minden évben újra felépítjük a mai 10 000 Ft-ból.
| Változó egységköltség éves emelkedése | 3. évi működési pénzáram eszközeladás nélkül | A projekt NPV-je |
|---|---|---|
| 4% | 10 137 979,40 Ft | 2 768 239 Ft |
| 6% | 9 337 540,20 Ft | 1 683 712 Ft |
| 8% | 8 506 318,60 Ft | 571 232 Ft |
| 10% | 7 643 733,80 Ft | −569 597 Ft |
A 10%-os költségdrágulásnál mindhárom év működési pénzárama pozitív marad. Ezek és az eszközeladás együttes jelenértéke azonban már kevesebb a húszmilliós induló kiadásnál. A pozitív éves működési különbség így önmagában még nem teljesíti a beruházási hozamelvárást.
A nullához tartozó költségemelkedést az NPV újraszámolásával szűkíthetjük. Évi 9%-nál még körülbelül 4386 Ft a pozitív NPV. A határ a megadott adatokkal körülbelül 9,0077% évente. A határnál a mai 10 000 Ft-os egységköltség minden évben ugyanazzal az 1,0900769 körüli szorzóval nő; ez nem az utolsó év egyszeri drágulása.
Ez a küszöb egy változóra vonatkozó döntési érzékenység. Ha a drágulás miatt az eladási árat is módosítanád, és emiatt a mennyiség csökkenne, új, közös forgatókönyv kellene. A fenti 9,0077% kizárólag a rögzített volumen és áremelés mellett érvényes.
A már jövőbeli áron megadott összeget ne emeld meg újra
A harmadik évi eszközeladás négymillió forintját eleve a jövőbeli fizetés időpontjának összegével adtuk meg. Ezért változtatás nélkül szerepel a nominális pénzáramban. Ha még egyszer megszoroznánk 1,05³-nal, 4 630 500 Ft kerülne a harmadik évbe, amely már más feltételezés.
Az indokolatlan 630 500 Ft-os többlet a jelenértéket körülbelül 432 360 Ft-tal növelné meg. A reál táblázathoz az eredeti négymilliót kell 1,05³-nal visszaosztani. Minden nagyobb összeg mellé ezért írd oda, hogy mai áron becsült adat vagy későbbi időpontra már megadott névérték.
Ha az első áremelés csak a második évben léphet életbe
Az ár időpontja szerződéses korlátot is jelenthet. Egy külön saját változatban a vevőkkel megállapodott ár az első teljes évre 20 000 Ft/db, és az évi 4%-os emelés csak a második évtől alkalmazható. A darabszám, a változó és fix költség eredeti drágulása, az eszközeladás, az induló beruházás és a 13,4%-os nominális diszkontráta maradjon változatlan. A mennyiség változatlansága itt külön feltevés.
| Adat | 1. év | 2. év | 3. év |
|---|---|---|---|
| Eredeti eladási ár | 20 800 Ft/db | 21 632 Ft/db | 22 497,28 Ft/db |
| Később induló emelés melletti ár | 20 000 Ft/db | 20 800 Ft/db | 21 632 Ft/db |
| Árbevétel csökkenése | 800 000 Ft | 915 200 Ft | 1 046 988,80 Ft |
| Új teljes nominális pénzáram | 6 250 000 Ft | 7 212 900 Ft | 12 290 551,40 Ft |
A költségek nem változtak, ezért az árbevétel csökkenése ugyanekkora pénzáramcsökkenés. Ezek jelenértéke együtt körülbelül 2 135 120 Ft. Az eredeti 1 683 712 Ft NPV így körülbelül −451 408 Ft-ra csökken. Az évi 4% mindkét tervben szerepel, de máskor kezdődik az alkalmazása, és emiatt megfordul a beruházás értékelése.
A nominális és reál számítás ebben az új változatban is ugyanarra a negatív eredményre vezet, ha ugyanazokat az új pénzáramokat értékeled következetesen. A módszer helyessége nem pótolja az áremelés első érvényes napját. Minden árnál rögzítsd, melyik értékesítési időszakra alkalmazható, és mikor módosítható. Az első éves áron már megadott beszállítói ajánlatra ugyanígy nem tehetsz rá ismét egy első évi drágulást.
Mit ellenőrizhetsz a jelenérték-kalkulátorban?
A kamatos kamat és jelenérték kalkulátorában válaszd a Mai kezdőtőke – kamatos kamat módot. Az eredeti, első évtől emelkedő árú változat harmadik évi nominális pénzáramának ellenőrzéséhez a célösszeg 13 337 540,20 Ft, az időtáv 3 év, az éves kamat/hozam 13,4%. A havi befizetés és a külön éves költség nulla legyen. Az inflációmezőt is állítsd nullára ehhez az egy pénzáramra vonatkozó ellenőrzéshez.
Az éves kamat értelmezésénél Effektív éves hozamot válassz. Az itt kiszámolt 13,4% már teljes éves hozam; az eszköz másik, „Nominális éves kamat” választása az évközi tőkésítéshez megadott névleges kamatot jelenti. A szó kétféle használatát a névleges és effektív kamatról szóló cikk segít elkülöníteni.
A kapott mai kezdőtőke körülbelül 9 146 113 Ft. A reál utat a külön kiszámolt, körülbelül 11 521 468,70 Ft-os reál célösszeggel és 8%-os effektív éves hozammal ellenőrizheted, azonos három évre. Ez ugyanarra a jelenértékre vezet a kiírt összeg kerekítési eltérésén belül.
A teljes hároméves NPV-hez a többi pénzáramot is külön diszkontálni kell, majd levonni a húszmilliós mai beruházást. Az eszköz egyetlen inflációmezőjéből nem következik a termékár, a beszerzés, a fix költség és az eladott mennyiség eltérő pályája; ezeket a saját táblázatban állítottuk össze.
Milyen döntést ad a példa, és mi módosíthatja?
A közölt pénzáramok és ráták mellett a projekt pozitív, körülbelül 1,684 millió Ft-os nettó jelenértéket ad. Az eredmény érzékeny a változó egységköltség drágulására: a 6%-os alapfeltevésről körülbelül 9,0077%-ra emelkedő éves ütem már lenullázza ezt az értéket. A beszerzési feltevés pontosítása ezért közvetlenül a döntést segíti.
A példában a két helyes módszer algebrailag azonos pénzáramokat értékel. Ez az egyezés a táblázat következetességét bizonyítja. A jövőbeli keresletet, a beszerzési árat vagy a maradványértéket külön kell alátámasztanod.
Valós tervben az adókat az esedékességükkel, a készlet és a követelések változását a pénzigényükkel, az eszköz eladását a ténylegesen megtartható összegével vedd fel. Az itt használt egyszerű pénzáramok mellé nem elég a könyv szerinti profitot odatenni. Ha a növekedés miatt előbb kell árut és vevői fizetési időt finanszíroznod, a forgótőke és a növekedési hitelkeret példájában ezt a külön pénzlekötést is végigkövetheted.
Források és a számítás eredete
- ACCA: infláció és beruházásértékelés – a nominális és reál módszer kapcsolata, az általános és egyedi infláció eltérése.
- ACCA: összetett beruházásértékelés – az árak, a mennyiség, a maradványérték és a pénzmozgások időpontjának kezelése.
A húszmilliós beruházás és minden hozzá tartozó összeg saját hipotetikus példa. A cikk nem használ aktuális inflációs előrejelzést, piaci kamatadatot vagy vállalati árajánlatot. A számítások a megadott feltevések összefüggését és a döntés érzékenységét mutatják.
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. Ez kézzel pontozható próba: minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont.
1. kérdés: 8% reálhozamot vársz, és 5% az általános infláció feltételezése. Mennyi a vele összhangban álló nominális éves ráta?
- A) 13%.
- B) 3%.
- C) 13,4%.
2. kérdés: A gép 4 millió Ft-os maradványértékét eleve a harmadik év végi pénzben becsülted meg. Hogyan kerül a nominális pénzáramba?
- A) 4 millió × 1,05³ összeggel, még egyszer inflálva.
- B) A harmadik évben 4 millió Ft-ként, további inflálás nélkül.
- C) Induló pénzbevételként, diszkontálás nélkül.
3. kérdés: A 4%-os eladási áremelés az első év helyett csak a másodikban indul. A cikk minden más feltétele marad. Mi történik?
- A) Az NPV körülbelül −451 408 Ft-ra változik.
- B) Az NPV változatlan marad, mert az emelés mértéke ugyanaz.
- C) Az NPV egyetlen évi 4%-kal csökken, további számítás nélkül.
Megoldások és magyarázatok
- 1. C. Az összefüggés 1,08 × 1,05 − 1 = 0,134. Az összeszorzás kezeli az infláció és a reálhozam együttes hatását. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: a reál- és nominális diszkontráta.
- 2. B. Az összeg már jövőbeli pénzegységben szerepel. A második inflálás ugyanazt a hatást kétszer érvényesítené; a harmadik évi pénzáramot egyszer diszkontálod. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: a jövőbeli maradványérték időpontja és pénzegysége.
- 3. A. Mindhárom év bevétele alacsonyabb a korábban tervezettnél. A kiesések jelenértéke körülbelül 2 135 120 Ft, ami az eredeti 1 683 712 Ft előnyt meghaladja. Ha mást választottál, ezt nézd át újra: az első áremelés időzítése.
Mit jelent az eredményed?
- 0 pont: kezdd az alapösszefüggéssel: a reál- és nominális diszkontráta. Számold végig a cikk kapcsolódó példáját.
- 1 pont: a két eltévesztett kérdés magyarázatához térj vissza, és írd le a megfelelő bemeneteket.
- 2 pont: a kihagyott vagy hibás kérdés témájában ellenőrizd a viszonyítási alapot és a feltételeket, majd számolj újra.
- 3 pont: a három vizsgált összefüggést helyesen alkalmaztad. Próbáld ki saját adatokkal, és a az első áremelés időzítése rész korlátait is jegyezd fel.