Az 1440 percenkénti fordulat, a 24 hertz és a nagyjából 0,0417 másodperces periódusidő ugyanannak az egyenletes forgásnak háromféle leírása lehet. Az egyik azt mondja meg, hány teljes fordulat történik egy percben, a másik a másodpercenkénti számot, a harmadik pedig egyetlen kör megtételének idejét.
Az átváltás akkor lesz következetes, ha előre rögzíted, mit tekintesz egy teljes ismétlődésnek. Forgásnál ez egy kör. Ingánál egy teljes oda-vissza lengés. Egy érzékelő által kiadott jel viszont akár minden fordulat alatt többször is jelentkezhet. A mérés értelmezése ezért megelőzi a képletbe helyettesítést.
Három adat és a közöttük lévő kapcsolat
A periódusidő jele T, és egy teljes ismétlődés időtartamát fejezi ki. A frekvencia jele f; az időegység alatt bekövetkező teljes ciklusok száma. A hertz, jele Hz, a másodpercenkénti ismétlődéshez használt SI-egység. Egy hertz másodpercenként egy teljes ciklust jelent.
Állandó periódusú folyamatnál f = 1/T és T = 1/f. Ezekben a képletekben a hertzhez másodpercben add meg a periódusidőt. Ha 20 ezredmásodperced van, először 0,020 másodpercre válts. Ekkor 1/0,020 = 50 Hz az eredmény.
Forgásnál a percenkénti fordulatszámot sok helyen rpm, min⁻¹ vagy 1/perc jelöléssel találod. Ebben a cikkben n jelöli. Mivel egy perc hatvan másodperc, az összefüggés f = n/60, illetve n = 60f. A közvetlen átváltás periódusidőre T = 60/n, ha n percenkénti fordulatban szerepel.
| Kiinduló adat | Számítás | Eredmény |
|---|---|---|
| T = 2 s | f = 1/2 | 0,5 Hz |
| f = 5 Hz | T = 1/5 | 0,2 s |
| n = 600/perc | f = 600/60 | 10 Hz |
| n = 600/perc | T = 60/600 | 0,1 s |
A táblázat sorai külön szemléltető esetek. A fordulatszámot tartalmazó sorokban egy teljes kör felel meg egy ciklusnak. Ezzel a feltétellel lehet ugyanazt a mozgást mindhárom mennyiséggel leírni.
Első példa: 1440 fordulat percenként
Tegyük fel, hogy egy elméleti feladatban a tengely egyenletesen, 1440/perc fordulatszámmal forog. Először másodpercre számoljuk át: 1440/60 = 24 fordulat másodpercenként. A forgás frekvenciája tehát 24 Hz.
Egy fordulat ideje T = 1/24 s, vagyis 0,041666… másodperc. Ez ezredmásodpercben 41,666… ms, kerekítve 41,67 ms. A visszaellenőrzéshez szorozd össze az egy másodperc alatt megtett huszonnégy kört az egy körhöz tartozó pontos idővel: 24 × 1/24 s = 1 s.
Harminc másodperc alatt a fordulatok száma 24 × 30 = 720. Ugyanezt percben is kiszámolhatod: harminc másodperc fél perc, így 1440 × 0,5 = 720. A két út egyezése gyorsan felfedi a hatvannal történő téves szorzást vagy osztást.
Tegyük fel továbbá, hogy egy elméleti jeladó minden fordulatnál négy azonos távolságra elhelyezett jelölést érzékel, és jelölésenként egy impulzust ad. Az impulzusok ismétlődési frekvenciája ekkor 24 × 4 = 96 Hz. Az egymást követő impulzusok közötti idő 1/96 s, körülbelül 10,42 ms.
A 96 hertzes jelből a tengely fordulatszámát a jelölések számával visszaosztva kapjuk: 96/4 × 60 = 1440/perc. Ha a négy impulzust tévesen négy teljes fordulatnak tekintenéd, négyszeres fordulatszámot számolnál. Ez a különbség a megadott érzékelési elvből következik; valódi jeladónál a készülék leírása határozza meg, pontosan mit számlál.
Tizenhárom jel között hány teljes időköz van?
Maradjon a fordulatonként négy, egyenletesen elosztott impulzust adó elméleti jeladó. Egy feljegyzésben tizenhárom egymást követő, azonos típusú impulzuskezdet időpontja szerepel. Az első és az utolsó között 0,125 másodperc telt el, közben a tengely egyenletesen forgott, és egyetlen jel sem maradt ki.
A tizenhárom időbélyeg között tizenkét teljes impulzusköz van. Az első jel a mérés kezdőpontja; az első teljes időköz a második jelnél ér véget. A tizenkét időköz fordulatonként négy jellel 12 / 4 = három teljes fordulatot fog át.
A fordulatszám ezért:
n = (13 − 1) / 4 / 0,125 × 60 = 1440/perc.
Az impulzusfrekvencia ugyanezekből az adatokból 12 / 0,125 = 96 Hz. Ha a tizenhárom jelet tizenhárom teljes időköznek tekintenéd, 13 / 4 / 0,125 × 60 = 1560/perc adódna. Ez 120/perc eltérés, a helyes értékhez képest 8,33%-os túlbecslés.
Ez a levonás az első és utolsó megszámolt jel között mért időre vonatkozik. Egy előre megnyitott és lezárt időablakban összeszámolt impulzusok más mérési helyzetet jelentenek: ott az ablakhatárok általában nem esnek az első és az utolsó jelre. A számláló értékéből tehát ne vonj le automatikusan egyet; először a mérés kezdő- és végpontját azonosítsd.
Az időadat pontosságát is végigvezetheted. Tegyük fel, hogy a tizenkét impulzusköz teljes ideje a példában biztosan 0,124 és 0,126 másodperc közé esik, a ciklusszám és a négy jel/fordulat pedig pontos. A hosszabb időhöz kisebb fordulat tartozik:
- 0,126 s esetén 3 / 0,126 × 60 ≈ 1428,57/perc.
- 0,124 s esetén 3 / 0,124 × 60 ≈ 1451,61/perc.
A névleges 1440 körüli eltérés nem teljesen szimmetrikus, mert az idő a nevezőben szerepel. Ezek a megadott időhatárokból következő feltételes szélsőértékek. A ±1 ms-os feltevés nem egy valós mérőeszköz specifikációja, és nem a kijelző tizedesjegyeiből származik. Az így kapott fordulatszámot a megfelelő tengely nyomatékával együtt viheted tovább a teljesítményszámításba.
Második példa: tizenkét teljes lengés tizennyolc másodperc alatt
Egy másik szemléltető feladatban egy inga tizenkét teljes oda-vissza lengése 18,0 másodpercig tart. Egy teljes lengés átlagos ideje T = 18,0/12 = 1,50 s. Ez az összesített mérés átlaga; az egyes lengések közötti esetleges ingadozást a teljes időből nem látod. A mérési szakasz átlagos frekvenciája közvetlenül is számolható: f = 12/18,0 = 0,6666… Hz, kerekítve 0,667 Hz.
Ellenőrzésként 1/1,50 szintén 0,6666… értéket ad. Egy perc alatt azonos mozgást feltételezve 60 × 12/18 = 40 teljes lengés történne. Az ingára itt a percenkénti lengésszám kifejezést használjuk, mert az oda-vissza mozgás nem teljes körök megtételét jelenti.
Indítsd a képzeletbeli mérést az egyik szélső helyzetnél. Az inga eljut a túloldali szélső helyzetig, majd visszatér a kiindulási oldalra. Ez az egész út egy periódus. A további időfelosztáshoz szimmetrikus, egyforma oda- és visszaúti idővel számoló mozgást feltételezünk. Így az 1,50 másodperces periódus fele 0,75 másodperc. A tizenkét teljes lengés összes ideje önmagában az egyes félmozgások időtartamát nem határozza meg.
Ha a tizennyolc másodperc alatt valójában tizenkét fél lengést számoltál, csak hat teljes periódus történt. Ekkor T = 18/6 = 3 s és f = 6/18 = 0,3333… Hz lenne a helyes eredmény. A stoppert ugyanúgy olvastad le, mégis kétszeres eltérés keletkezett a számlálás meghatározása miatt.
Az inga periódusidő kalkulátor ingahosszból és megadott nehézségi gyorsulásból számol kis kitérésű, ideális fonálingát. Ezt az elméleti eredményt összevetheted egy mérésből kapott periódussal. Az eszköz a fonál és a felfüggesztés valós veszteségeit, valamint a nagy kitérés hatását nem írja le. A kis szögű közelítés hátterét az OpenStax ingákról szóló fejezete vezeti le.
Hová kerül a képletben a 2π?
A szögsebesség azt fejezi ki, mennyit változik a forgás szöge időegység alatt. Egy teljes kör 2π radián, így egyenletes forgásnál ω = 2πf. A frekvencia hertzben és a szögsebesség radián/másodpercben megadott számértéke ezért eltér, még akkor is, ha ugyanarról a tengelyről beszélünk.
Az első példa 24 Hz-es forgásához ω = 2 × π × 24, körülbelül 150,80 rad/s tartozik. Ha a tengelyen a feladat szerint állandó 2 N·m forgatónyomaték hat, a mechanikai teljesítmény P = M × ω = 2 × 150,7964…, körülbelül 301,59 W.
Ezt a nyomaték–fordulatszám teljesítménykalkulátorban 2 N·m és 1440/perc megadásával vizsgálhatod tovább. Az eszköz tengelyteljesítményt számol. A villamos energiafelvétel megállapításához a hajtás és a motor veszteségeiről is kellene adat.
Ha fogaskerekekkel változik a fordulatszám, a megfelelő tengely adatából indulj ki. A motor fordulatszáma és a hajtott tengelyé áttétel mellett eltérhet. Ezt a kapcsolatot a fogaskerék-áttételről és nyomatékról szóló útmutató részletezi.
Változó fordulatnál mit átlagolsz?
Egy külön szemléltető mérésben az egyik teljes fordulat 40 ms, az azt közvetlenül követő teljes fordulat 60 ms alatt történjen meg. Nincs köztük kihagyott idő vagy fordulat. A két kör összesen 0,100 másodpercig tart, így az átlagos ciklusidő 0,100 / 2 = 0,050 s. A teljes megfigyelés átlagos forgási frekvenciája 2 / 0,100 = 20 Hz, az átlagos fordulatszám pedig 1200/perc.
Az egyes körök idejének reciproka 25 Hz és 16,6667 Hz. E két szám egyszerű számtani átlaga körülbelül 20,8333 Hz, azaz 1250/perc. Ez 4,17%-kal nagyobb a teljes megfigyelésre helyes átlagnál. Az eltérést az okozza, hogy az egyszerű átlag mindkét körnek azonos súlyt ad, miközben a lassabb kör több időt foglal el.
Az időtartamokkal súlyozva ugyanaz a helyes eredmény adódik: (25 × 0,040 + 16,6666… × 0,060) / 0,100 = 20 Hz. Általánosan a teljes megfigyelt ciklusszámot oszd a hozzá tartozó teljes idővel. A kapott átlag mellett a külön ciklusidőket is őrizd meg, ha a sebesség ingadozása érdekel. Az 1200/perc önmagában nem írja le a két kör eltérő idejét.
Mit írj a szám mellé, hogy később is érthető legyen?
A jegyzetedben a szám mellé kerüljön mértékegység, és egy rövid mondat arról, mi volt a számlált esemény. Például: „tizenkét teljes oda-vissza lengés, tizennyolc másodperc alatt”. Ebből később is eldönthető, mire vonatkozik az idő és a ciklusszám.
Nulla frekvenciából a T = 1/f képlettel nem számolható véges periódusidő. Álló tengelynél hiányzik az ismétlődő körmozgás, ezért a periódus helyére egy nullás szám beírása félrevezető lenne. Pozitív frekvenciánál pedig a nagyobb értékhez kisebb periódusidő tartozik; ez az irány az eredmény gyors ellenőrzéséhez is hasznos.
Források és kapcsolódó számítások
A periódus és frekvencia kapcsolatát az OpenStax harmonikus mozgásról szóló fejezete, a szögsebességet a forgómozgás mennyiségeit bemutató fejezet tárgyalja. A másodperc és hertz SI-kapcsolatának hivatalos leírása a BIPM oldalán olvasható. A példák saját számítások; az ingakalkulátor az elméleti modellhez ad további összehasonlítást.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. 13 egymást követő jel első és utolsó időpontja között 0,125 s telik el. 4 jel tartozik egy fordulathoz, jel nem marad ki. Mennyi a fordulatszám?
- A) 5760/perc.
- B) 1440/perc.
- C) 1560/perc.
2. 1440/perc egyenletes forgásnál fordulatonként négy, egyenletesen elosztott impulzus készül. Mennyi az impulzusfrekvencia?
- A) 5760 Hz.
- B) 24 Hz.
- C) 96 Hz.
3. Két közvetlenül egymást követő teljes kör 40 és 60 ms alatt történik. Mennyi a teljes megfigyelés átlagos fordulatszáma?
- A) 1500/perc.
- B) 1250/perc.
- C) 1200/perc.
Megoldások és pontozás
1. B. 13 időpont között 12 időköz van, ez 12/4 = 3 fordulat. A fordulatszám 3/0,125 × 60 = 1440/perc. Ismétléshez: Tizenhárom jel között hány teljes időköz van?.
2. C. A forgási frekvencia 1440/60 = 24 Hz. Fordulatonként négy impulzus miatt a jel frekvenciája 4 × 24 = 96 Hz. Ismétléshez: Első példa: 1440 fordulat percenként.
3. C. A két kör összes ideje 0,100 s. Az átlag 2/0,100 = 20 kör/s = 1200/perc. Az egyedi reciprokok egyenlő súlyú átlaga hibás lenne. Ismétléshez: Változó fordulatnál mit átlagolsz?.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.