Két nem nulla vektor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk nulla. Ugyanebből a műveletből a köztük lévő szög is kiszámítható, ha a két vektor hosszát is ismered. A koordináták előjeleit tartsd meg: az irányt éppen ezek hordozzák.
A skaláris szorzat eredménye egy szám. A szög és a vetület ebből további lépésekkel adódik, ezért egy nagyobb skaláris szorzat önmagában még nem jelent kisebb szöget. A vektorok hosszának változása ugyancsak módosítja a szorzatot.
Koordinátákból a bezárt szögig
Síkban u = (u₁; u₂) és v = (v₁; v₂) esetén u·v = u₁v₁ + u₂v₂. Három dimenzióban ehhez hozzáadódik u₃v₃. A hossz síkban |u| = √(u₁² + u₂²), a szög pedig cos α = (u·v) / (|u| × |v|) alapján határozható meg.
Ezek a szokásos, egymásra merőleges, azonos léptékű koordinátatengelyekre írt összefüggések. A skaláris szorzat OpenStax-leírása a geometriai és koordinátás kapcsolatot is bemutatja. Az alábbi vektorok saját szemléltető példák.
Legyen u = (3; 4), v = (4; 3). A skaláris szorzat 3 × 4 + 4 × 3 = 24. Mindkét vektor hossza √(3² + 4²) = 5. Így cos α = 24 / (5 × 5) = 0,96, amiből α ≈ 16,26°.
Az eredmény hegyesszög. A két vektor különböző, mégis közel azonos irányba mutat. Ha v helyett a kétszer akkora (8; 6) vektort választod, a skaláris szorzat 48, a második hossz 10 lesz. A hányados 48 / 50 továbbra is 0,96, így a szög változatlan marad.
Nulla szorzat két különböző helyzetben
Vegyük most az u = (2; 1) és v = (−1; 2) vektorokat. Szorzatuk 2 × (−1) + 1 × 2 = 0. Egyik sem nullvektor, ezért a nulla szorzat valóban 90°-os szöget igazol.
Ha viszont u = (0; 0), a szorzat bármely vektorral nulla. Itt a szögképlet nevezője is nulla lenne. A nullvektornak nincs meghatározott iránya, ezért a két vektor bezárt szögére ebben az esetben nem adható 90°-os eredmény. Ezért kell a merőlegességi megállapításnál a nem nulla feltételt is ellenőrizni.
Két nem nulla vektornál a pozitív szorzat 90°-nál kisebb, a negatív 90°-nál nagyobb szöget jelez a szokásos 0–180° tartományban. Az azonos vagy ellentétes irány ennek két szélső esete.
Mit ad a vetület?
Térjünk vissza az u = (3; 4), v = (4; 3) párhoz. A v vektor u irányú vetületének szorzója (v·u) / (u·u) = 24 / 25 = 0,96. Ezzel u-t megszorozva a vetületvektor (2,88; 3,84).
Az eredeti v és a vetület különbsége (4 − 2,88; 3 − 3,84) = (1,12; −0,84). Ennek u-val vett skaláris szorzata 3 × 1,12 + 4 × (−0,84) = 0. A maradék tehát merőleges u-ra, ami független ellenőrzése a vetítésnek.
A vektorkalkulátorban válaszd a két- vagy háromdimenziós módot, és azonos sorrendben add meg a koordinátákat. A szöget fokban olvasd le; külön számológépnél figyelj arra, hogy az arccos eredménye fok vagy radián szerint jelenik-e meg.
Ha pontokból indulsz, előbb képezd a vektort: A = (1; 1) és B = (4; 5) között az A-ból B-be mutató elmozdulás (3; 4). Különböző mértékegységű koordinátákat előbb egységesíts. Mért adatoknál a merőlegességhez való közelséget a (u·v)/(|u| × |v|) hányadosból értékeld. A nyers szorzat nagysága függ a hosszaktól: u = (0,001; 0) és v = (0,001; 0) esetén csak 0,000001, mégis azonos irányúak, és a hányados 1. Ezzel szemben u = (1000; 0), v = (0,001; 1) szorzata 1, a szög mégis körülbelül 89,9427°.
Előbb azt ellenőrizd, hogy a vektorok a mérési pontossághoz képest érdemben eltérnek-e a nullától. Ezután a számított szöget és annak bizonytalanságát vesd össze a feladat megengedett szögeltérésével. Egy önkényesen választott, nyers skalárisszorzat-küszöb más mértékegységnél is más következtetéshez vezethet.
Egyeneshez vagy szakaszhoz keresed a legkisebb távolságot?
A vetületnek közvetlen geometriai feladata is lehet. Legyen A = (0; 0), B = (3; 4), és keressük a P = (8; 6) pont távolságát az A-n és B-n átmenő egyenestől. Minden koordinátát azonos hosszegységben értünk.
Az egyenes iránya u = (3; 4). A P pontba mutató vektor vetületi szorzója:
t = (8 × 3 + 6 × 4) / (3² + 4²) = 48 / 25 = 1,92.
A példa egyszerűségét az A = (0; 0) választás adja. Tetszőleges A és B esetén előbb az u = B − A és w = P − A koordinátakülönbségeket képezd. Ekkor t = (w·u)/(u·u), a vetületi pont pedig H = A + tu. A P pont saját koordinátáival csak akkor számolhatsz közvetlenül, ha A valóban az origó. Egybeeső A és B végpontnál a szakasz egy ponttá válik; ilyenkor a PA távolságot keresed, a vetítési képlet nevezője nulla lenne.
A vetületi pont H = 1,92 × (3; 4) = (5,76; 7,68). A P-ből H-ba mutató eltérés hossza √[(8 − 5,76)² + (6 − 7,68)²] = √(2,24² + 1,68²) = 2,8 egység. Ez az egyeneshez tartozó merőleges távolság.
Ha azonban csak az A és B közötti szakasz használható, H már nem megengedett pont. A szakasz pontjai t × (3; 4) alakúak, de kizárólag 0 ≤ t ≤ 1 mellett. A kapott 1,92 a B végponton túlra mutat.
Ebben az esetben B a legközelebbi szakaszpont. A távolság PB = √[(8 − 3)² + (6 − 4)²] = √29 ≈ 5,3852 egység. A 2,8-as eredménnyel a tényleges szakasztól való távolságot erősen alábecsülnéd.
Az ellenőrzés oka az egyenes mentén felírt négyzetes távolságból is látszik: (8 − 3t)² + (6 − 4t)² = 25(t − 1,92)² + 7,84. A 0 és 1 közötti megengedett t-k közül az 1 van legközelebb az 1,92-höz. Ha a vetületi szorzó 0 és 1 közé esne, maga a vetületi pont adná a szakasztávolságot; negatív szorzónál az A végpontot kellene használni.
A távolságok utolsó lépése a Pitagorasz-tétellel végzett hosszszámítás. A skaláris szorzat előtte azt dönti el, melyik pontig érdemes ezt a hosszt számolni.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. Az egyik vektor (0; 0), a másik (2; 1). A skaláris szorzat nulla. Mekkora a bezárt szög?
- A) Biztosan 0°.
- B) Biztosan 90°.
- C) Nincs meghatározva, mert a nullvektornak nincs iránya.
2. A (3; 4) és (4; 3) szöge körülbelül 16,26°. A második vektort (8; 6)-ra cseréled. Mi történik a szöggel?
- A) Változatlan: a skaláris szorzat és a második hossz ugyanúgy duplázódik.
- B) A szög is duplázódik.
- C) Biztosan 90° lesz.
3. A = (0; 0), B = (3; 4), P = (8; 6). A vetületi szorzó t = 1,92. Mekkora a P pont távolsága az AB szakasztól?
- A) √29 ≈ 5,3852 egység, a B végpontig.
- B) 2,8 egység, a korlátlan egyenesig.
- C) Nulla, mert van vetület.
Megoldások és pontozás
1. C. A szögképlet nevezőjében a nullvektor hossza is szerepel, ezért az nulla. A merőlegességet 90°-os szögként két nem nulla vektorra értelmeztük. Ismétléshez: Nulla szorzat két különböző helyzetben.
2. A. A koszinusz először 24/25 = 0,96, majd 48/50 = 0,96. A pozitív skalárral szorzás az irányt megtartja. Ismétléshez: Koordinátákból a bezárt szögig.
3. A. A szakaszhoz 0 ≤ t ≤ 1 tartozik. Az 1,92 a végponton túlra esik, ezért B a legközelebbi pont: √[(8−3)² + (6−4)²] = √29. Ismétléshez: Egyeneshez vagy szakaszhoz keresed a legkisebb távolságot?.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.