A csonkagúla térfogata V = h(T₁ + T₂ + √(T₁T₂))/3. A két alapterület egyszerű átlaga általában nem helyettesíti a zárójelből és a harmadolásból adódó átlagos keresztmetszetet. A test oldalméretei a magasság mentén arányosan változnak, a keresztmetszet területe viszont ezek négyzetével változik.
A képlet olyan csonkagúlára vonatkozik, amelyet egy gúlából az alaplappal párhuzamos metszéssel kapsz. A két alaplap párhuzamos és hasonló. A h magasság a két alaplap síkja közötti merőleges távolság, nem az oldalél vagy az oldallap ferde magassága.
Négyzetes példa köztes lépésekkel
Legyen egy saját szemléltető modell alsó alapéle 6 cm, felső alapéle 2 cm, testmagassága 5 cm. A két négyzet területe T₁ = 6² = 36 cm² és T₂ = 2² = 4 cm². A szorzatuk gyöke √(36 × 4) = √144 = 12 cm².
Ezután V = 5 × (36 + 4 + 12)/3 = 260/3 cm³ ≈ 86,67 cm³. A zárójel minden tagja terület, amelyet magassággal szorzunk; így köbcentiméter az eredmény. A Wolfram MathWorld csonkagúláról szóló szócikke közli a térfogat és a szabályos eset palástjának összefüggését.
Az egyszerű átlagolás (36 + 4)/2 × 5 = 100 cm³-t adna. Ez 13,33 cm³-rel, a helyes eredményhez mérten körülbelül 15,38%-kal több. Két eltérő alaplap között a köztes keresztmetszetek területe nem változik egyenletesen.
Az átlagolás hibájának iránya általánosan is kiszámítható. A h(T₁ + T₂)/2 közelítésből a helyes térfogatot kivonva:
Eltérés = h × (√T₁ − √T₂)² / 6.
Ez nem negatív, és eltérő alaplapoknál pozitív: az egyszerű átlag mindig túlbecsül. A példában 5 × (6 − 2)² / 6 = 13,3333 cm³. Ha viszont az alapélek 6 és 5 cm-esek, azonos 5 cm magasságnál a hiba már csak 5/6 ≈ 0,8333 cm³, a helyes 151,6667 cm³ körüli térfogat 0,5495%-a. A közelítés elfogadhatóságát ehhez a számított eltéréshez és a feladat tűréséhez kötheted. Ez kizárólag a képlet egyszerűsítésének hibája; a méretek mérési bizonytalanságát külön kell vizsgálni.
Ellenőrzés két teljes gúlával
Az alapélek aránya 2/6 = 1/3, ezért a levágott kis gúla és az eredeti nagy gúla hasonlósági aránya is 1/3. Jelölje H a teljes nagy gúla magasságát. A levágott rész magassága H/3, a kettő különbsége 5 cm.
Ebből H − H/3 = 5, tehát H = 7,5 cm; a kis gúla magassága 2,5 cm. A nagy gúla térfogata 36 × 7,5/3 = 90 cm³. A kis gúláé 4 × 2,5/3 = 10/3 cm³. A különbség 90 − 10/3 = 260/3 cm³, ugyanaz, mint az első módszerrel.
Ez a bontás megmutatja a hasonlóság szerepét is. Két tetszőleges, párhuzamos lap területe és távolsága önmagában nem határozza meg a köztük lévő testet: a csonkagúla geometriai feltételeire is szükség van.
A fél magasság nem fél térfogat
Tekintsük most a 6 cm-es alsó, 2 cm-es felső oldalhosszt és az 5 cm-es magasságot egy üres edény belső méreteinek. A felső és alsó sík párhuzamos, az oldalak egyenesen szűkülnek. A töltési szint síkját az alaplapokkal párhuzamosnak vesszük, magasságát az alsó alap síkjától merőlegesen mérjük. Ha a töltési sík ferdén metszi az edényt, az alábbi négyzetes keresztmetszeti modell már nem írja le a megtöltött részt. Mekkora térfogatot töltünk meg az itt rögzített helyzetben, ha csak 2,5 cm magasságig jutunk?
A négyzet oldalhossza a teljes 5 cm-en összesen 4 cm-rel csökken, vagyis magasságcentiméterenként 0,8 cm-rel. Félmagasságnál a köztes oldal 6 − 0,8 × 2,5 = 4 cm.
Az alsó rész maga is csonkagúla. Alapterületei 36 és 16 cm², magassága 2,5 cm. Térfogata:
V = 2,5/3 × (36 + 16 + √(36 × 16)) = 190/3 ≈ 63,3333 cm³.
A teljes térfogat 260/3 cm³, ezért a félmagasságig töltött rész aránya 190/260 × 100 ≈ 73,08%. Az alsó rész szélesebb, így a térfogat nagyobb része az alsó magasságfélre jut.
Fordítva a fél térfogat 130/3 ≈ 43,3333 cm³. A z cm-es töltési magasságnál a köztes oldal 6 − 0,8z. A két teljes gúla különbségével ugyanennek a résznek a térfogata [216 − (6 − 0,8z)³]/2,4 cm³. Ezt 130/3-mal egyenlővé téve:
(6 − 0,8z)³ = 112, így z = (6 − 112^(1/3))/0,8 ≈ 1,4746 cm.
Tehát a fél térfogathoz ebben az alakban jóval a 2,5 cm-es felezőmagasság alatt áll a töltési szint. A visszaszámításnál a köztes keresztmetszet méretét is újra meg kellett határozni; a teljes térfogat magasságarányos osztása téves eredményt adna.
Valós edénynél ehhez a belső méretek és a kitöltésből kieső részek ismerete kell. Ha a következő feladat földmennyiség rendelése, a balkonládák és cserepek földigényéről szóló cikk a szabad perem és a kiszorított térfogat kezelésével egészíti ki a geometriai számítást.
A felszínhez további geometria kell
Ha a két négyzet középpontja egymás fölött van, és az egymásnak megfelelő alapélek párhuzamosak, az itt vizsgált test egyenes négyzetes csonkagúla. Az oldallap ferde magassága ekkor s = √[5² + ((6 − 2)/2)²] = √29 cm ≈ 5,3852 cm.
A négy oldallap együttes területe 2(6 + 2)√29 ≈ 86,16 cm². A két alaplappal együtt a teljes felszín 86,1626… + 36 + 4 ≈ 126,16 cm². Az 5 cm-es testmagasságot közvetlenül az oldallap magasságának venni kisebb, hibás palástot adna.
A csonkagúla-kalkulátorban a négyzetes mód ad térfogatot és felszínt. A két ismert alapterületre épülő mód térfogatot számol; a felszínhez az alaplapok alakja, kerülete és a megfelelő oldalmagasságok is kellenek.
A számolás előtt minden hosszt azonos egységre hozz. Ha alapterületet adsz meg, annak négyzetes egysége ehhez illeszkedjen. A felső alap méretének nullához közelítésével a képlet a teljes gúla V = hT₁/3 képletéhez tart. Azonos alapterületek határhelyzetében pedig hasáb térfogata adódik. A tényleges eszköz csonkagúla-módjánál kövesd a pozitív méretekre és a kisebb felső alapra vonatkozó bemeneti feltételeket.
Záró tudáspróba
Kérdésenként egy választ jelölj meg, majd a megoldások alapján pontozd magad. Ez a három kérdés a cikkben bemutatott összefüggéseket ellenőrzi.
1. Négyzetes csonkagúla alapélei 6 és 2 cm, merőleges magassága 5 cm. Mennyi a térfogat?
- A) 60 cm³.
- B) 260/3 ≈ 86,67 cm³.
- C) 100 cm³, az alapterületek számtani átlagával.
2. A fenti, alul szélesebb edényt 2,5 cm magasságig töltöd. A teljes térfogat hány százaléka telik meg?
- A) Körülbelül 73,08%.
- B) Pontosan 50%.
- C) Körülbelül 26,92%.
3. Az egyenes négyzetes csonkagúla oldallapjának területéhez melyik magasság tartozik a példában?
- A) A √29 ≈ 5,3852 cm-es ferde oldalmagasság.
- B) A test 5 cm-es merőleges magassága közvetlenül.
- C) A 6 cm-es alapél.
Megoldások és pontozás
1. B. A két terület 36 és 4 cm², a geometriai közép 12 cm². A helyes képlet 5 × (36+4+12)/3 = 260/3 cm³. Ismétléshez: Négyzetes példa köztes lépésekkel.
2. A. Félmagasságnál 4 cm a keresztmetszet oldala. Az alsó csonkagúla 190/3 cm³, a teljes 260/3 cm³, így az arány 190/260 ≈ 73,08%. Ismétléshez: A fél magasság nem fél térfogat.
3. A. Az oldallapi magasság vízszintes összetevője (6−2)/2 = 2 cm. Ez az 5 cm-es testmagassággal √(5²+2²) = √29 cm-et ad. Ismétléshez: A felszínhez további geometria kell.
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Az összpontszám 0–3 lehet.
- 0 pont: dolgozd végig újra a három megoldásban megjelölt részt, és írd le a példák kiinduló feltételeit.
- 1 pont: a két elhibázott kérdésnél vezesd le a helyes választ; külön írd mellé, melyik feltétel vagy számolási lépés maradt ki.
- 2 pont: térj vissza az egyetlen elhibázott kérdéshez kapcsolt részhez, majd egy bemenet megváltoztatásával ellenőrizd újra az eredményt.
- 3 pont: a három összefüggést ebben a feladatsorban helyesen alkalmaztad. Próbáld ki a cikk egyik ellenőrzését saját adatokkal, a feltételeket és a mértékegységeket is feljegyezve.