A részecske hullámhosszához a lendületet kell ismerned. A λ = h/p kapcsolatban a p helyére csak megfelelő tartományban írható az egyszerű mv szorzat. Először tehát a sebesség és a fénysebesség arányát ellenőrizd, utána számolj nanométert.
Elektronra végigszámolva
Válasszunk szemléltető v = 1,0 × 10⁶ m/s sebességet, és használjuk az elektron tömegének 9,109 × 10⁻³¹ kg-os közelítését. A nemrelativisztikus lendület p = mv ≈ 9,109 × 10⁻²⁵ kg·m/s. A h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s értékkel a hullámhossz körülbelül 7,274 × 10⁻¹⁰ m, azaz 0,7274 nm.
A sebesség és a vákuumbeli fénysebesség aránya itt körülbelül 0,00334, azaz 0,334%. Ebben a példában a klasszikus lendület jó közelítés. A sok kiírt tizedesjegy helyett a bemeneti tömeg és sebesség pontosságához illő eredményt közölj.
Az arányokból gyorsan ellenőrizhetsz
Azonos tömeg mellett kétszeres sebességhez közelítőleg fele hullámhossz tartozik, amíg a klasszikus tartományban maradunk. Azonos sebességnél kétszeres tömeg ugyanilyen felezést eredményez. A hullámhossz tehát a lendület növekedésével csökken.
Nulla sebesség behelyettesítése a h/(mv) kifejezésbe osztási problémát ad. Ebből nem következik egy valós, helyhez kötött részecske teljes fizikai leírása. A kalkulátor egy idealizált kapcsolatot számol, a részecske térbeli állapotát külön modell írná le.
Mikor kell továbblépni?
A fénysebességhez közeledve p = γmv szükséges, ahol γ = 1/√(1 − v²/c²). Ilyenkor a klasszikus képlet egyre nagyobb hullámhosszt becsül a relativisztikus eredménynél. A kalkulátor módszertanában ellenőrizd, melyik lendületképlet szerepel. Tömeget kilogrammban, sebességet méter per másodpercben adj meg, és az eredményt csak ezután váltsd nanométerre.
Mekkora eltérést okoz a klasszikus lendület?
Egy kizárólag összehasonlításra választott részecske sebessége legyen 0,6 c. Ekkor γ = 1/√(1 − 0,6²) = 1,25. Azonos tömeg és sebesség mellett a relativisztikus lendület 1,25-szerese az mv szorzatnak. A helyes hullámhossz ezért a klasszikus eredmény 1/1,25 = 0,8-szerese.
Ha a klasszikus képletből egy feladatban 1 nm adódna, a relativisztikus érték ebben az aránypéldában 0,8 nm lenne. Ez a klasszikus becsléshez képest 20%-os csökkenés; fordítva nézve a klasszikus érték 25%-kal nagyobb a relativisztikusnál. A két százalék eltérő nevező miatt különbözik. Tömeggel rendelkező részecskénél 0 < v < c és pozitív tömeg szükséges ehhez a számításhoz. A c-hez közeli tartományban az egységváltás pontosítása helyett a lendület megfelelő képlete oldja meg a modelltévesztést.
Kapcsolódó DG Kalkulátor megnyitása
Forrás és módszertani háttér
A számpéldák saját szemléltető számítások.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és jegyezd fel az A, B vagy C betűt. Előbb oldd meg mindhárom feladatot, utána nézd meg a megoldásokat.
1. Mi a de Broglie-kapcsolat általános alakja?
- A) λ = hp
- B) λ = h/p
- C) λ = p/h
2. Klasszikus tartományban kétszeres sebesség mit okoz?
- A) Kétszeres hullámhosszt
- B) Változatlan hullámhosszt
- C) Fele hullámhosszt
3. 0,6 c sebességnél γ = 1,25. Mekkora a relativisztikus hullámhossz a klasszikushoz képest?
- A) 0,8-szeres
- B) 1,25-szeres
- C) Változatlan
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont; a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont. Legfeljebb 3 pont szerezhető. 3 pont: A hullámhosszt a megfelelő lendületből számoltad, és a százalékos eltérés viszonyítási alapját is azonosítottad. 2 pont: nézd át az eltévesztett kérdésnél megnevezett részt, és számold újra annak példáját. 0–1 pont: haladj végig a három megoldáson, majd oldd meg újra a kérdéseket. Ez a rövid próba a cikk összefüggéseinek megértését ellenőrzi.
1. megoldás
B) λ = h/p – A hullámhossz a lendülettel fordítottan arányos. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Elektronra végigszámolva.
2. megoldás
C) Fele hullámhosszt – Az mv lendület kétszeresére nő. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Az arányokból gyorsan ellenőrizhetsz.
3. megoldás
A) 0,8-szeres – A lendület 1,25-szeres, a hullámhossz ennek reciproka szerint 0,8-szeres. A nagyobb lendülethez kisebb hullámhossz tartozik. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Mekkora eltérést okoz a klasszikus lendület?.