A Földdel együtt forduló műhold pályájáról gyakran két, egymástól több ezer kilométerrel eltérő számot olvasunk. Az egyik a Föld középpontjától mért pályasugár, a másik a felszín feletti magasság. Ha a két mennyiséget összekeverjük, a helyesnek tűnő adatból hibás következtetés születhet.
A következő számítás körpályás kéttestmodellt használ. Oktatási becslés: a Föld lapultságát, más égitestek zavaró hatását és a tényleges pályakorrekciókat elhagyja. Nem műholdüzemeltetési vagy pályatervezési utasítás.
A csillagnaphoz tartozó periódust használd
A JPL csillagászati paraméterei a Föld átlagos csillagnapjára 86 164,09054 másodpercet adnak meg. A szokásos 24 órás nap 86 400 másodperc. A két időtartam különbsége körülbelül 235,91 másodperc.
A Földhöz képest állandó helyzetű, ideális geostacionárius pályához a Föld forgási periódusát kell illeszteni. A 86 400 másodperces választás egy másik periódust ír le, még akkor is, ha hétköznapi értelemben mindkettőt egy naphoz kapcsoljuk.
A NASA műholdpálya-ismertetője is megkülönbözteti a Föld forgásához szinkronizált pályát és a ténylegesen geostacionárius körpályát. Az utóbbihoz az egyenlítői sík és a Föld forgásával azonos keringési irány is szükséges.
Először a középponttól mért sugarat kapod
A képlet r = (μT²/(4π²))^(1/3). A gravitációs paraméterre a JPL által közölt μ = 398 600,435507 km³/s² értéket használjuk. Mivel az idő másodperc, az eredmény kilométerben adódik.
A T = 86 164,09054 s periódussal a pályasugár r ≈ 42 164,17 km. Ez a Föld középpontjától mért távolság. A szám mellé ezért kifejezetten a „pályasugár” megnevezés tartozik.
A pályasugár-kalkulátor G és tömeg külön megadásából is dolgozhat. Ilyenkor a használt GM szorzót és a kerekítést kell összehangolni a közvetlen μ adattal; néhány utolsó számjegy eltérése önmagában nem logikai hiba.
A magassághoz le kell vonni a referencia sugarát
A magasság h = r − R. A jelen példában kerekített, választott egyenlítői referenciasugárként R = 6378 km értékkel számolunk. Így h ≈ 42 164,17 − 6378 = 35 786,17 km.
A 42 164 és a 35 786 kilométer tehát ugyanannak a közelítő pályának két külön adata lehet. A referenciasugár pontosítása a magasságot is módosítja, ezért a sok tizedesjegy a kerekített R mellett nem jelent ugyanilyen fizikai pontosságot.
A geostacionárius pálya kalkulátorban a sugár és a magasság címkéjét is ellenőrizd. A sugár helyére beírt magasság más gravitációs és keringési eredményt adna.
Mit okoz a 86 400 másodperces választás?
Ugyanazzal a μ értékkel, de T = 86 400 s mellett r ≈ 42 241,10 km adódik. Ez körülbelül 76,93 km-rel nagyobb az előző pályasugárnál. A számolás így is helyes a megadott periódusra, csak a kitűzött szinkronfeltétel változott meg.
A különbség arányosan is ellenőrizhető: változatlan μ mellett r ∝ T^(2/3). Az idő kis relatív eltérése tehát kisebb, de nem nulla relatív sugárváltozást okoz. Az azonos referencia-R levonása után a két magasság különbsége szintén 76,93 km.
A keringési sebesség és a földi helyzet is ellenőrzést ad
A csillagnapos, körülbelül 42 164,17 km sugarú körpályán a sebesség v = 2πr/T alapján körülbelül 3,07466 km/s. Ugyanez a gravitációs paraméterből v = √(μ/r) alakban is megkapandó. A két eredmény egyezése a sugár, periódus és egységek hasznos visszaellenőrzése.
Ez a nem együtt forgó, Föld-középpontú leírásban vett keringési sebesség. A Földhöz rögzített koordinátákban az ideális geostacionárius műhold helyzete állandó. A „földről állónak látszik” állítás ezért nem jelenti azt, hogy nincs keringési sebessége. A NASA pályaismertetője ezt az állandó földi helyzetet a körpályás, egyenlítői szinkronpályához köti.
A sugár és magasság összekeverése itt is észrevehető. Ha a √(μ/r) képletbe tévesen a 35 786,17 km-es magasságot írnád, körülbelül 3,33742 km/s sebességet kapnál. Ez nem egyezik a helyes sugárból és csillagnapból számolt értékkel. A két képlet közötti eltérésnél ezért először a távolság fogalmát és az egységet ellenőrizd.
A 86 400 másodperces periódusú, egyenlítői, a Földdel azonos irányú körpálya eltérése szögben is megmutatható. Egy 86 400 másodperces nap alatt a műhold egy fordulatot tesz meg, a Föld viszont 86 400/86 164,09054 ≈ 1,002738 fordulatot. A különbség körülbelül 0,98565 fok, ezért a műhold ebben az idealizált összevetésben ennyivel nyugat felé mozdulna a földi hosszúsághoz képest. Ez a korábbi 76,93 km-es sugáreltérés gyakorlati értelmezése ugyanabban a kéttestmodellben; a valós pályazavarokat továbbra sem számoljuk.
Gyakori kérdések
Minden csillagnapos keringés geostacionárius?
Nem. A megfelelő periódus mellett az ideális geostacionárius pálya kör alakú, egyenlítői és a Föld forgásával azonos irányú.
A 6378 km pontos geodéziai állandó a cikkben?
Itt kerekített szemléltető referenciasugár. Precíz alkalmazásnál megnevezett földmodellt és hozzá illeszkedő paramétereket kell használni.
Miért jobb lehet közvetlenül μ-val számolni?
Így elkerülhető a külön választott G és bolygótömeg kerekítéseinek keverése. A paraméter forrását és egységét ettől még meg kell őrizni.
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. A megoldások ellenőrzése után minden helyes válaszért 1 pontot adj magadnak; a hibás, kihagyott vagy több válasszal megjelölt kérdés 0 pont. Összesen 0–3 pont szerezhető.
1. Mit jelent a körülbelül 42 164,17 km-es érték?
- A) A felszín feletti magasságot.
- B) A Föld középpontjától mért pályasugarat.
- C) A műhold egy másodperc alatt megtett útját.
2. Miért lehet a keringési sebesség körülbelül 3,07466 km/s, miközben a műhold földi helyzete állandó?
- A) Mert a kilométer és másodperc kiesik.
- B) Mert a műholdnak nincs pályája.
- C) Mert a sebesség nem együtt forgó, a rögzített hely pedig a Földdel forgó koordinátákra vonatkozik.
3. Egy 86 400 másodperces keringésű, azonos irányú egyenlítői körpálya hogyan változna a földi hosszúsághoz képest a modellben?
- A) Naponta körülbelül 0,986 fokkal nyugat felé, mert a Föld közben kissé több mint egyet fordul.
- B) Pontosan geostacionárius maradna.
- C) Naponta egy teljes fordulattal kelet felé.
Megoldások és pontszám
1. B. A kéttestmodell r-je középponti távolság. A választott 6378 km referenciasugarat levonva adódik a magasság.
2. C. A két állítás eltérő vonatkoztatási rendszerben írja le ugyanazt a mozgást. A szinkronizált szögsebesség tartja meg a földi helyzetet.
3. A. A Föld 86 400 másodperc alatt körülbelül 1,002738 fordulatot tesz, a műhold egyet. A műhold a földi forgáshoz képest lemarad.
3 pont: A sugár, periódus és vonatkoztatási rendszer kapcsolatát is ellenőrizted. Saját oktatási számításban a két sebességképlet egyezését is vizsgáld meg.
2 pont: Az 1. kérdéshez a sugár és magasság különbségét, a 2.-hoz a forgó koordinátákat, a 3.-hoz a két nap hosszából számolt szögeltérést nézd át.
0–1 pont: Először a középponti sugarat és a csillagnapos periódust egyeztesd. Ezután számolj sebességet két módon, és csak külön lépésben térj át a földhöz viszonyított helyzetre.