Egy egyszerű tranzitmodellben a fényességcsökkenés aránya a bolygó és a csillag sugárarányának négyzete. A tranzitmélységből tehát először sugárarányt számolhatsz. A bolygó kilométerben vagy Föld-sugárban kifejezett méretéhez a csillag sugarát is ismerned kell.
Fényességkülönbségből területarány
Legyen F₀ a tranziton kívüli, Fₜ a tranzit közben mért, a beérkező fényárammal arányos lineáris jel. A két érték azonos mértékegységben, ugyanabban a hullámhossztartományban és azonos jelskálán szerepeljen. Ha normalizált fénygörbét használsz, mindkét értéket ugyanazzal az alapfényességgel kell osztani; két külön normalizálás megváltoztatná az összehasonlítást. A relatív csökkenés:
δ = (F₀ − Fₜ) / F₀.
Ha a csillagkorong felületi fényességét egyenletesnek vesszük, a bolygó sötét korongja pedig teljesen a csillag elé kerül, a kitakart terület aránya:
δ ≈ (Rₚ / R★)², így Rₚ ≈ R★ × √δ.
A sugárarány mértékegység nélküli. A NASA HEASARC tranzitmélység-meghatározása is a sugarak négyzetes arányát használja.
Saját szemléltető fénygörbénk alapértéke 100 000 egység, a csökkenés alatt 99 910 egységet mérnénk. A különbség 90, ezért δ = 90 / 100 000 = 0,0009. Ez 0,09%, illetve 900 ppm. A ppm egymilliomod részt jelent, így 900 ppm = 900 / 1 000 000. A három alak ugyanazt az arányt írja le.
A bolygósugár végigszámolása
A sugárarány √0,0009 = 0,03. A bolygó sugara tehát ebben a modellben a csillag sugarának 3%-a. A 0,09%-os fényességcsökkenésből nem 0,09%-os sugárarány következik, mert a kitakart terület négyzetesen változik.
Legyen a szemléltető csillag sugara 0,8 Nap-sugár. A kalkulátorhoz illeszkedő átváltással 1 Nap-sugár = 695 700 km; ez az IAU névleges napsugár-konstansával egyezik. A csillag sugara tehát 556 560 km.
Rₚ = 556 560 × 0,03 = 16 696,8 km.
A DG eszköz 6 371 km-es Föld-sugár egységével ez 16 696,8 / 6 371 ≈ 2,62075 Föld-sugár. A tranzitkalkulátorban válaszd a bolygósugár számítását, a csillagsugárhoz 0,8-at, a mélységhez 900 ppm-et írj. Az eredményt a feltételezett bemenetekhez illő pontossággal például 2,62 Föld-sugárként közölheted.
Hogyan terjed a méret változása?
Azonos csillagnál négyszeres mélység kétszeres bolygósugarat jelent. A példabeli 900 helyett 3 600 ppm esetén a sugárarány 0,06 lenne, a bolygósugár pedig 33 393,6 km.
Azonos mélységnél a csillag sugarának 10%-os növelése a bolygó számított sugarát is pontosan 10%-kal növeli. Ezért a mély és szépen mérhető tranzit sem pótolja a csillag megfelelő jellemzését. A mélység a sugárarányt korlátozza; az abszolút skála a csillagból származik.
Melyik adat pontosítása csökkenti a sugár bizonytalanságát?
Tegyük fel külön, hogy a 900 ppm-es mélység standard bizonytalansága 100 ppm, a 0,8 Nap-sugáré pedig 0,08 Nap-sugár. A két becslést ebben a példában függetlennek vesszük. Az Rₚ = R★√δ képlet elsőrendű bizonytalanságterjedése:
[u(Rₚ)/Rₚ]² ≈ [u(R★)/R★]² + ¼[u(δ)/δ]².
Ez a NIST bizonytalanságterjedési képletének alkalmazása. A példában a relatív standard bizonytalanság √(0,10² + (100/900/2)²) ≈ 11,44%, a 16 696,8 km-es sugárhoz körülbelül 1910 km. Ez standard bizonytalanság, önmagában nem 95%-os intervallum.
A mélység bizonytalanságát 100-ról 25 ppm-re csökkentve a sugáré még mindig 10,10% körüli. Az adott modellben már a csillagsugár tízszázalékos bizonytalansága dominál. További fénygörbepontosítás helyett ezért a csillagsugár meghatározása adhat nagyobb javulást. Közös illesztésből származó, korrelált bemeneteknél a kovarianciatag is szükséges; a fenti összeadás a választott független, elsőrendű közelítésre érvényes.
Ha a mért fény ötöde egy másik forrásból érkezik
A 100 000 egységes alapfényességet most bontsuk ketté: 80 000 egység a tranzitban érintett csillagé, 20 000 egység egy változatlan másik forrásé. A kitakarás továbbra is 90 egység. A teljes mért fényben ez 900 ppm, a csillag saját fényéhez képest viszont 90 / 80 000 = 0,001125, azaz 1 125 ppm.
Az egyszerű, egyenletes korongmodellben a korrigált sugárarány √0,001125 ≈ 0,033541. Ugyanazzal az 556 560 km-es csillagsugárral körülbelül 18 667,6 km adódik a korábbi 16 696,8 km helyett. Az eltérés 11,80%. A változatlan idegen fény hatását a tranzitmélységre Parviainen és munkatársai eredeti tanulmánya tárgyalja.
Általánosan, ha a teljes alapfényből a tranzitcsillag részesedése q, akkor δcsillag = δmért / q. A 0,8-as q itt feltételezett, függetlenül ismert adat; a 900 ppm-ből önmagában nem állapítható meg. Előbb azt is ellenőrizd, hogy a kapott fénygörbén már elvégezték-e ezt a korrekciót. Kétszeri alkalmazása túl nagy sugarat eredményezne. A peremsötétedést és a fedés geometriáját ez az egyszerű korrekció továbbra sem oldja meg.
A valódi fénygörbe több információt igényel
A csillagkorong széle általában más felületi fényességű, mint a közepe. A peremsötétedés emiatt módosítja a mélység és a sugárarány egyszerű kapcsolatát. René Heller eredeti tanulmánya kifejezetten ezt az eltérést vezeti le különböző peremsötétedési törvények mellett.
Súroló fedésnél a bolygókorong nem kerül teljes egészében a csillag elé. Ha pedig más fényforrás is hozzájárul a mért alapfényességhez, ugyanaz a kitakarás kisebb relatív csökkenésnek látszik. Ezekben az esetekben a puszta négyzetgyökös számításból nem kapsz megbízható fizikai sugarat.
A kalkulátort ezért területarányos becslésre és egységellenőrzésre használd. A tranzitmélység önmagában nem határozza meg a bolygó tömegét vagy összetételét. Negatív csökkenés, nulla csillagsugár vagy az alapfényességnél nagyobb kitakarás nem illik ebbe az egyszerű pozitív sugármodellbe.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és írd fel az A, B vagy C betűt. A három feladat után ellenőrizd magad a magyarázatokkal.
1. 900 ppm tranzitmélység az egyenletes, teljes kitakarási modellben mekkora sugárarányt ad?
- A) 0,03-at
- B) 0,0009-et
- C) 0,09-et
2. Az összes alapfény 80%-a a tranzitcsillagtól jön, a többi állandó idegen fény. A mért 900 ppm mekkora csillagsaját mélység?
- A) 720 ppm
- B) 1125 ppm
- C) 900 ppm
3. A tranzitmélységet tökéletesen megméred, a csillag sugarát viszont nem ismered. Meghatároztad a bolygó sugarát kilométerben?
- A) Igen, a ppm már kilométert jelent.
- B) Igen, a mélység egyben a tömeg is.
- C) Nem, a sugárarány mellé abszolút csillagsugár is szükséges.
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont; összesen 3 pont szerezhető. 3 pont: a vizsgált összefüggéseket helyesen alkalmaztad; következőként készíts számítást a saját bemeneteiddel. 2 pont: az eltévesztett feladatnál megnevezett részt olvasd újra, és ellenőrizd a megoldást a képlettel. 0–1 pont: kezdd a(z) A bolygósugár végigszámolása résszel, majd haladj végig a három magyarázaton, és oldd meg újra a kérdéseket. A próba a cikk megértéséről ad visszajelzést.
1. megoldás
A) 0,03-at – 900 ppm=0,0009, a sugárarány ennek négyzetgyöke, 0,03. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: A bolygósugár végigszámolása.
2. megoldás
B) 1125 ppm – A csillag saját fényére kell visszaosztani: 900/0,8=1125 ppm. Előbb ellenőrizni kell, hogy a bemenetet már korrigálták-e. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Ha a mért fény ötöde egy másik forrásból érkezik.
3. megoldás
C) Nem, a sugárarány mellé abszolút csillagsugár is szükséges. – Rₚ=R★√δ, ezért a kilométeres skálát a csillag sugara adja. A tranzit egyszerű mélysége a tömeget sem határozza meg. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Hogyan terjed a méret változása?.