Egy elképzelt bolygó kétszer akkora sugarú, mint a választott referencia. Ebből még nem következik, hogy a felszínén kétszer akkora lenne a gravitáció. A tömeg, a sugár és az átlagos sűrűség kapcsolatát együtt kell felírni.
A következő arányszámítás gömbszimmetrikus, nem forgó testet és felszíni helyzetet feltételez. A domborzat, a lapultság, a forgás és a helyi sűrűségkülönbségek hatását elhagyjuk. A referencia gyorsulását szemléltetésként 9,81 m/s² értékkel vesszük; ez kerekített összehasonlítási adat.
A tömeg egyszeresen, a sugár négyzetesen szerepel
A felszíni gravitációs gyorsulás g = GM/R². Két test összehasonlításánál ugyanaz a G állandó kiesik, ezért g₂/g₁ = (M₂/M₁) / (R₂/R₁)².
Ha az új bolygó kétszer akkora tömegű és kétszer akkora sugarú, akkor a gyorsulás aránya 2/2² = 0,5. A kerekített referenciához mérten ez 4,905 m/s², tehát feleakkora felszíni gyorsulás.
Az OpenStax gravitációs fejezete ismerteti a tömeg és a középponttól mért távolság szerepét. A kétszeres arányok a jelen cikk saját, elképzelt testjeire vonatkoznak.
A tömeg és az erő mértékegysége különbözik
Egy 70 kg tömegű testre a referencia felszínén 70 × 9,81 = 686,7 newton gravitációs erő hatna. Az előző bolygón ez 70 × 4,905 = 343,35 newton.
A test tömege mindkét helyen 70 kg marad. A kilogramm tömegegység, a newton erőegység. Egy mérleg kijelzésének értelmezése attól is függ, milyen gravitációs gyorsulásra kalibrálták; a kijelzett számot ezért nem szabad gondolkodás nélkül új tömegként kezelni.
A más égitesten ható testsúly kalkulátora előre megadott égitesteket hasonlít össze. A saját hipotetikus tömeghez és sugárhoz a felszíni gravitáció kalkulátorát használd, majd az erőt a test tömegével megszorozva számold. Az eredmények mellett mindig őrizd meg az egységet és a választott referenciát.
Az átlagos sűrűségből is ellenőrizheted
Gömbnél a térfogat a sugár köbével arányos. Kétszeres sugárhoz nyolcszoros térfogat tartozik. Az előző, kétszeres tömegű bolygó átlagos sűrűsége így 2/8 = 0,25-szörös.
Ez segít felismerni a kiinduló állítás következményét: a nagyobb méret mellé most jóval kisebb átlagos sűrűség társult. A bolygósűrűség-kalkulátor tömegből és sugárból külön is ellenőrzi ezt az összefüggést.
Ha viszont azonos átlagos sűrűséget tartanánk meg, a kétszeres sugár nyolcszoros tömeget jelentene. A felszíni gravitáció aránya ekkor 8/4 = 2, vagyis valóban kétszeres volna. Ez már másik feladat, eltérő tömegfeltétellel.
Mekkora tömeg tartaná változatlanul a gravitációt?
Kétszeres sugár mellett a változatlan felszíni g feltétele M₂/M₁ = 2² = 4. Az új bolygónak tehát négyszeres tömegűnek kellene lennie. A sűrűség aránya közben 4/8 = 0,5 lenne.
A három változat jól szétválasztható: kétszeres sugárnál a kétszeres tömeg fél gravitációt, a négyszeres tömeg azonos gravitációt, a nyolcszoros tömeg kétszeres gravitációt ad. Az egyik változat eredményét nem lehet a másik feltételei mellett használni.
Valós égitesteknél ez a modell csak az egyik fizikai szempont. A légkör megtartását, a felszíni környezetet vagy az élet lehetőségét a felszíni g egyetlen száma nem dönti el. A cikk hipotetikus összehasonlítása ilyen következtetést nem tartalmaz.
A felszín fölötti magasság új távolságot jelent
Ugyanazon gömbszimmetrikus testen vizsgáljunk egy pontot a felszín fölött h = R/2 magasságban. A középponttól mért távolság ekkor R + h = 1,5R. A gyorsulás aránya a felszíni értékhez képest 1/1,5² = 4/9 ≈ 0,4444.
A 9,81 m/s²-es szemléltető felszíni értékből így 4,36 m/s² adódik. Egy 70 kg-os testre ebben a pontban 305,2 N gravitációs erő hatna. Az elhagyott forgási és egyéb hatások továbbra sem szerepelnek a modellben.
A feleakkora gyorsulás helyét visszafelé is meghatározhatod: a középponttól mért távolság √2 × R, a felszín fölötti magasság tehát (√2 − 1)R ≈ 0,4142R. Egy külön elképzelt, 6000 km sugarú referencia esetén ez körülbelül 2485,28 km felszín fölötti magasság. A fél gravitációhoz így nem fél sugárnyi magasság tartozik.
A középponttól mért távolságra vonatkozó gravitációs összefüggés miatt a magasságot előbb a test sugarához kell adni. A h helyettesítése R + h helyére különösen nagy hibát adhat. A fenti h = R/2 esetben például a hibás helyettesítés négyszeres felszíni gyorsulást adna a helyes 4/9-szeres helyett. A növekvő magasság melletti ilyen erősödés rögtön ellentmondana a választott modellen belüli távolságfüggésnek.
Gyakori kérdések
A kétszeres átmérő ugyanilyen sugárarányt jelent?
Igen. Mivel az átmérő a sugár kétszerese, két test átmérőaránya és sugáraránya megegyezik.
Használhatok kilométert és kilogrammot a képletben?
Csak az állandóval összehangolt mértékegységekkel. A szokásos SI-alakban a sugár méterben szerepel; az arányos összehasonlításban az azonos egységek kiesnek.
Az átlagos sűrűség megadja a belső felépítést?
Nem egyértelműen. Azonos átlagértékhez eltérő belső szerkezet is tartozhat; a fenti felszíni modell gömbszimmetriát feltételez.
Záró tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ. A megoldások ellenőrzése után minden helyes válaszért 1 pontot adj magadnak; a hibás, kihagyott vagy több válasszal megjelölt kérdés 0 pont. Összesen 0–3 pont szerezhető.
1. Kétszeres tömeg és kétszeres sugár mellett mekkora a felszíni gyorsulás a referenciához képest?
- A) Feleakkora.
- B) Kétszeres.
- C) Négyszeres.
2. A felszíntől R/2 magasan melyik távolság szerepel a gravitációs képlet nevezőjében?
- A) R/2.
- B) 1,5R.
- C) 2R.
3. Ugyanazon testnél mekkora magasságban fele a gyorsulás a felszíni értéknek?
- A) R/2 magasságban pontosan.
- B) 2R magasságban.
- C) (√2 − 1)R, körülbelül 0,4142R magasságban.
Megoldások és pontszám
1. A. A tömegarányt a sugárarány négyzetével osztjuk: 2/2² = 0,5.
2. B. A képlet a középponttól mér: R + R/2 = 1,5R. A magasság önmagában más mennyiség.
3. C. A felezéshez a középponti távolság √2R. Ebből a felszín sugarát levonva kapjuk a magasságot.
3 pont: A tömeg-, sugár- és magasságadatot is helyesen értelmezted. Saját számításban külön mezőben őrizd meg a test sugarát és a felszín fölötti magasságot.
2 pont: Az 1. kérdéshez a 2/2² arányt, a 2.-hoz az R + h távolságot, a 3.-hoz a fele gyorsulás visszafelé számolt helyét nézd át.
0–1 pont: Írd egymás mellé a középpontot, a felszíni sugarat és a hozzáadott magasságot. Ebből képezd a teljes távolságot, majd ellenőrizd, hogy növelésével csökken-e a számolt gyorsulás.