A látszó szögméret azt mutatja meg, milyen nagy szöget zár be a tárgy két széle a megfigyelőből nézve. Távoli tárgynál jó közelítés a valódi méret és a távolság hányadosa, de az eredmény radiánban értendő. Fokhoz vagy ívmásodperchez külön átváltás kell, nagy szögnél pedig a közelítés hibája is számíthat.
Előbb tisztázd a geometriát
Legyen D a látóirányra merőleges síkban fekvő teljes szélesség, d a szélesség közepéig mért távolság. A két szélt összekötő szakasz közepére nézünk. Erre a geometriára:
θ = 2 × arctan[D / (2d)].
A D és d azonos mértékegységben szerepeljen. A Nikon látómező-útmutatója az ennek megfelelő D = 2d × tan(θ/2) összefüggéssel számol távoli szélességet. A szögméret-kalkulátor szintén ezt a tangenses kapcsolatot használja, és a mérethez, illetve a távolsághoz külön választható egységet ad.
Ha D sokkal kisebb d-nél, a képlet egyszerűsödik:
θ ≈ D / d radián.
Egy radián 180 / π fok, vagyis körülbelül 206 264,806 ívmásodperc. A kis szögű összefüggés csillagászati használatát a NASA képskála-feladata is szemlélteti.
Ezer kilométer egymillió kilométerről
Saját szemléltető példánkban D = 1 000 km, d = 1 000 000 km. A hányados 0,001, így a közelített szög 0,001 radián. Ívmásodpercben:
0,001 × 206 264,806 ≈ 206,264806 ívmásodperc.
A tangenses képlettel θ = 2 × arctan(0,0005) ≈ 0,000999999917 radián, azaz 206,264789 ívmásodperc. A két eredmény eltérése mindössze körülbelül 0,000017 ívmásodperc.
A kapott szög 3,437746 ívperc, vagy 0,0572958°. A kalkulátorban a szögméretet keresd, mindkét egységnél kilométert válassz, majd írd be az 1 000-es és 1 000 000-s értéket. A megjelenített eredménynél itt bőven elég lehet 206,26 ívmásodperc, ha a bemenő méretet és távolságot sem ismered sokkal pontosabban.
Nagy szögnél már látszik a különbség
Tartsuk meg az 1 000 km-es síkbeli szélességet, de a távolság is legyen 1 000 km. A D / d közelítés 1 radiánt, azaz 57,2958°-ot ad. A tangenses képlet eredménye viszont 2 × arctan(0,5) ≈ 53,1301°.
A kis szögű közelítés ebben a példában körülbelül 7,84%-kal nagyobb szöget jelez. Ekkora eltérés mellett már nem elegendő a „méret osztva távolsággal” szabály. A különbség a geometriából származik, további tizedesjegyek kiírásával nem csökkenthető.
Szögből vissza a méretre
Ha a távolság 2 000 000 km, a mért szögméret pedig 30 ívmásodperc, előbb a szöget váltsd radiánra: 30 / 206 264,806 ≈ 0,0001454441. Ezután:
D = 2 × 2 000 000 × tan(θ / 2) ≈ 290,888 km.
A szögméret-kalkulátorban ehhez a fizikai méretet kereső módot válaszd, és a szöget ívmásodpercben add meg. Pozitív méret és távolság kell; a síkbeli képletben a teljes szög 180° alatt marad.
Bizonytalan szögből távolságtartomány
Ha a síkbeli szélességet ismered, a távolság d = D / [2 × tan(θ/2)]. A nagyobb mért szög ugyanahhoz a D-hez kisebb távolságot ad. A bizonytalansági határokat ezért fordított sorrendben kell behelyettesíteni.
Legyen a szélesség továbbra is pontosnak vett 1 000 km, a teljes szögre pedig csak annyit fogadjunk el, hogy 0,050° és 0,060° közé esik. A tangens előtt fokból radiánra váltunk.
| Behelyettesített szög | Számított távolság | Szerepe |
|---|---|---|
| 0,060° | kb. 954 930 km | Alsó távolsághatár |
| 0,050° | kb. 1 145 916 km | Felső távolsághatár |
Így a levezetett tartomány körülbelül 955 ezer–1,146 millió km. Ez a két elfogadott szöghatár geometriai következménye, nem önmagában egy statisztikai megbízhatósági intervallum. A sok számjegyes tangens nem szűkíti a bemenő bizonytalanságot.
Ha a fizikai szélesség is bizonytalan, az alsó távolsághoz a kisebb szélességet és a nagyobb szöget, a felsőhöz a nagyobb szélességet és a kisebb szöget párosítsd. Ezzel megmutatható, melyik mért adat pontosítása segítene a távolságbecslésen.
Amit a számítás nem helyettesít
Egy gömb látszó peremére a megfigyelőből húzott érintők adják a határt. R sugárral, a középpontig mért d > R távolsággal a teljes peremszög 2 × arcsin(R/d). Saját példában R = 1000 km és d = 2000 km mellett ez 60°. Azonos, 2000 km-es síkbeli szélesség ugyanezen 2000 km-es középtávolságból csak 53,1301°. Nagy szögnél a tárgy alakja ezért érdemi különbséget okoz.
Ha a megadott h távolság a gömb legközelebbi felszínétől értendő, előbb d = R + h szerint válts a középponti távolságra. Az előbbi példában h = 1000 km, ezért d = 2000 km. A h közvetlen behelyettesítése az arcsin képletbe tévesen 180°-ot adna. Távoli, kis szögű helyzetben a síkbeli és gömbi különbség kicsi, de a távolság értelmezését ott is őrizd meg. Ferde síkbeli tárgynál a két végpont eltérő távolságban is lehet. Távoli, kis szögű helyzetben a látóirányra merőleges vetületi mérettel közelíthetsz. Nagy szögnél viszont a két végpont tényleges látóirányából kell a közbezárt szöget meghatározni; a cikk eleji szimmetrikus arctangenses képlet feltételeit ilyenkor újra ellenőrizd.
Fotóról mért pixelszámhoz a kamera képskáláját is ismerned kell. A szögméretből önmagában nem állapítható meg a valódi méret: ugyanakkora látszó szöget adhat egy kisebb közeli és egy nagyobb távoli tárgy. A fordított számításhoz ezért mindig szükséges egy független távolságadat.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és írd fel az A, B vagy C betűt. A három feladat után ellenőrizd magad a magyarázatokkal.
1. D/d=0,001 a kis szögű közelítésben. Milyen egységű a kapott 0,001 szög?
- A) Fok
- B) Ívmásodperc
- C) Radián
2. R=1000 km-es gömbnél a felszíntől h=1000 km-re vagy. Mennyi kerüljön az arcsin képlet d középtávolságába?
- A) 2000 km
- B) 1000 km
- C) 0 km
3. Ismert síkbeli szélesség mellett 0,050–0,060° a megengedett teljes szög. Melyik adja a kisebb távolságot?
- A) A 0,050°
- B) A 0,060°
- C) Mindkettő ugyanazt
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont; összesen 3 pont szerezhető. 3 pont: a vizsgált összefüggéseket helyesen alkalmaztad; következőként készíts számítást a saját bemeneteiddel. 2 pont: az eltévesztett feladatnál megnevezett részt olvasd újra, és ellenőrizd a megoldást a képlettel. 0–1 pont: kezdd a(z) Előbb tisztázd a geometriát résszel, majd haladj végig a három magyarázaton, és oldd meg újra a kérdéseket. A próba a cikk megértéséről ad visszajelzést.
1. megoldás
C) Radián – A méret/távolság hányados a radiánban mért kis szöget közelíti; fokra vagy ívmásodpercre külön váltunk. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Előbb tisztázd a geometriát.
2. megoldás
A) 2000 km – A képlet középponti távolságot kér, ezért d=R+h=2000 km. A teljes peremszög így 2×arcsin(1/2)=60°. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Amit a számítás nem helyettesít.
3. megoldás
B) A 0,060° – d=D/[2tan(θ/2)]: a nagyobb pozitív szög nagyobb nevezőt és kisebb távolságot ad a megadott geometriai tartományban. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Bizonytalan szögből távolságtartomány.