A szökési sebesség az a határsebesség, amellyel egy test további hajtás nélkül éppen elhagyhatja egy elszigetelt égitest gravitációs kötését az ideális modellben. A kezdőpont égitestközépponttól mért távolságától és az égitest tömegétől függ. A távozó kis test saját tömege kiesik az egyszerű képletből.
Az energia adja a képletet
A központi égitestet rögzítettnek, a távozó kis test tömegét hozzá képest elhanyagolhatónak vesszük. A sebességeket a központi égitesthez viszonyított, nem forgó rendszerben adjuk meg; a forgó felszínhez viszonyított indítási sebesség külön értelmezést igényelne. A gömbszimmetrikus égitesten kívül a gravitációs potenciális energia −GMm/r, ha a végtelenben választjuk a nullát. A határesetben a kezdő mozgási energia ezt ellensúlyozza:
m × v² / 2 − GMm / r = 0.
Az m-mel osztva és v-re rendezve:
vₑ = √(2GM / r).
A képlet energiaelvű levezetését az OpenStax gravitációs energiáról szóló fejezete mutatja be. M kilogrammban, r méterben, a sebesség m/s-ban szerepel. A NIST gravitációs állandójával számolunk: G = 6,67430 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²).
A felszínről indulva r az égitest sugara. Felszín feletti h magasságnál az r = R + h középponti távolságot kell használni. A gömb belsejére ez a teljes tömeggel alkalmazott külső képlet nem vihető át változtatás nélkül.
Egy saját, hipotetikus égitest
Legyen az égitest tömege 4 × 10²⁴ kg, sugara 6 000 km. Ez utóbbi 6 000 000 m. A gyök alatti mennyiség:
2GM / r = 2 × 6,67430 × 10⁻¹¹ × 4 × 10²⁴ / 6 000 000 ≈ 88 990 666,667 m²/s².
A négyzetgyök 9 433,486 m/s, vagyis 9,43349 km/s. A szökési sebesség kalkulátorában kilogrammos tömegegységet és kilométeres sugáregységet válassz, majd 4 × 10²⁴ kg-ot és 6 000 km-t adj meg. A kapott határsebességet a feltételezett modellhez kerekítve körülbelül 9,43 km/s-ként értelmezheted.
Az egy kilogrammra jutó kezdeti mozgási energia a határon v² / 2 ≈ 44 495 333 J/kg, vagyis 44,495 MJ/kg. Ugyanez adódik GM/r-ből, így az energiaegyenlet visszaellenőrzi az eredményt.
A nagyobb sugár hatása attól függ, mit tartasz állandónak
Azonos sugárnál kétszeres központi tömeg √2-szeres szökési sebességet ad: a példában 13,34096 km/s-ot. Azonos tömegnél kétszeres sugár viszont √2-vel osztja a sebességet, így 6,67048 km/s adódik.
| Változtatás | Tömeg aránya | Szökési sebesség |
|---|---|---|
| Eredeti példa | 1 | 9,43349 km/s |
| Kétszeres tömeg, azonos sugár | 2 | 13,34096 km/s |
| Kétszeres sugár, azonos tömeg | 1 | 6,67048 km/s |
| Kétszeres sugár, azonos sűrűség | 8 | 18,86697 km/s |
Az utolsó sorban a gömb térfogata nyolcszorosára nő, így azonos átlagos sűrűségnél a tömeg is nyolcszoros. A tömeg/sugár arány négyszereződik, ezért a szökési sebesség kétszeres. A „nagyobb bolygóról könnyebb elszökni” állítás a tömeg vagy sűrűség feltétele nélkül nem értékelhető.
Körpálya és szökés két külön energiaállapot
Ugyanazon r távolságban az ideális körpályasebesség √(GM/r). A szökési sebesség ennek √2-szerese; ezt az OpenStax pályaenergiáról szóló fejezete is összeveti. A saját példában a körpályasebesség 6,67048 km/s.
A kisebb szám itt azt jelenti, hogy a test kötött körpályán maradhat. A szökési határon az összenergia nulla, és a végtelenhez közelítve a sebesség nullához tart. A határnál nagyobb megfelelő kiinduló sebesség mellett maradhat többlet mozgási energia.
Körpályáról indulva mekkora sebességváltozás szükséges?
A példabeli égitest körül most 12 000 km középponti sugarú körpályán induljon a kis test. Körpályasebessége körülbelül 4,71674 km/s, a helyi szökési sebesség 6,67048 km/s. Ha egy idealizált, pillanatszerű gyorsítás a haladás irányába, érintőlegesen növeli a sebességet, a szükséges változás a két nagyság különbsége: Δv ≈ 1,95374 km/s.
A 6,67048 km/s a gyorsítás utáni teljes sebesség. Ennyit változásként hozzáadni a már meglévő körpályasebességhez más energiaállapotot eredményezne. A kivonás pedig az azonos irány feltételéhez tartozik. Merőleges sebességváltozásnál a vektorok négyzetösszegével kell számolni; ugyanakkora végsebességhez ebben az esetben a körpályasebességgel azonos nagyságú Δv szükséges.
Az eredmény impulzusszerű, veszteségmentes pályamodell. Hosszabb idejű gyorsításnál a helyzet és a gravitációs erő a művelet közben változik, ezért teljes pályaszámítás kell.
Mennyi sebesség marad nagyon messze az égitesttől?
A 9,43349 km/s-os határ a példabeli égitest 6 000 km-es sugaránál éppen nulla távoli maradó sebességhez tartozik. Legyen a kiinduló sebesség ugyanott 12 km/s, kifelé vezető, ütközést elkerülő pályán. Az energiaegyenlet most:
v₀²/2 − GM/r = v∞²/2, ezért v∞ = √(v₀² − vₑ²).
A teljes pontosságú szökési sebességgel a távoli maradó sebesség körülbelül 7,41683 km/s. Az egyszerű 12 − 9,43349 = 2,56651 km/s kivonás más számot adna. Az energiában a sebesség négyzete szerepel, ezért a két sebesség különbsége nem azonos a távolban megmaradó sebességgel.
Vissza is ellenőrizhető: a kezdeti fajlagos mozgási energia 72 MJ/kg, a gravitációs kötés leküzdéséhez 44,49533 MJ/kg szükséges, a különbség 27,50467 MJ/kg. Ebből √(2 × 27,50467 × 1 000 000) méter/másodperc ugyanazt a maradó sebességet adja.
A v∞ a végtelenhez tartó távolságban értelmezett határérték. Ezt a kézi továbbvezetést is az elszigetelt, gömbszimmetrikus égitest, további hajtás és veszteségek nélküli modellben használjuk. Más testek gravitációja vagy későbbi energia-bevitel esetén a fenti egyetlen különbségből nem következik a végső mozgás.
A számítás feltételei
A képletben nincs légellenállás, forgási segítség, más égitest vagy későbbi hajtás. A kezdő mozgás iránya sem vezethet az égitesttel való ütközéshez. Folyamatosan gyorsított mozgásnál a pálya és az energia bevitele külön feladat; a pillanatnyi sebességből önmagában nem dönthető el a későbbi szökés.
A saját összehasonlításodhoz ezért előbb rögzítsd, hogy a felszínről vagy más magasságból indulsz, és a tömeget vagy a sűrűséget tartod-e állandónak. A fenti táblázat mutatja, mennyire eltérő következtetéshez vezethet ez a választás.
Háromkérdéses tudáspróba
Válassz kérdésenként egy választ, és írd fel az A, B vagy C betűt. A három feladat után ellenőrizd magad a magyarázatokkal.
1. Az égitest sugarát megkétszerezed, az átlagos sűrűség változatlan. Hogyan változik a felszíni szökési sebesség?
- A) √2-vel osztódik.
- B) Kétszeresére nő.
- C) Változatlan marad.
2. A körpályasebesség 4,71674 km/s, a helyi szökési sebesség 6,67048 km/s. Mekkora az ideális, haladásirányú impulzus Δv-je?
- A) 6,67048 km/s
- B) 11,38722 km/s
- C) Körülbelül 1,95374 km/s
3. 12 km/s kezdősebességnél a helyi szökési határ 9,43349 km/s. Melyik képlet adja a távoli maradó sebességet?
- A) √(12²−9,43349²) km/s
- B) 12−9,43349 km/s
- C) 12+9,43349 km/s
Megoldások és önálló pontozás
Minden helyes válasz 1 pont, a hibás vagy kihagyott válasz 0 pont; összesen 3 pont szerezhető. 3 pont: a vizsgált összefüggéseket helyesen alkalmaztad; következőként készíts számítást a saját bemeneteiddel. 2 pont: az eltévesztett feladatnál megnevezett részt olvasd újra, és ellenőrizd a megoldást a képlettel. 0–1 pont: kezdd a(z) A nagyobb sugár hatása attól függ, mit tartasz állandónak résszel, majd haladj végig a három magyarázaton, és oldd meg újra a kérdéseket. A próba a cikk megértéséről ad visszajelzést.
1. megoldás
B) Kétszeresére nő. – A tömeg nyolcszoros lesz, a sugár kétszeres; M/R négyszereződik, ennek négyzetgyöke kettő. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: A nagyobb sugár hatása attól függ, mit tartasz állandónak.
2. megoldás
C) Körülbelül 1,95374 km/s – Az azonos irányú sebességváltozás a két nagyság különbsége. A szökési sebesség a gyorsítás utáni teljes sebesség. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Körpályáról indulva mekkora sebességváltozás szükséges?.
3. megoldás
A) √(12²−9,43349²) km/s – Az összenergia megmaradása négyzetes sebességkülönbséget ad. A teljes pontosságú bemenetekből körülbelül 7,41683 km/s marad. Ha más választ adtál vagy kihagytad, ezt a részt ismételd át: Mennyi sebesség marad nagyon messze az égitesttől?.